Natiq Eyvazov 1993-cü ildə İstanbul şəhərində baş tutan Avropa Çempionatının qızıl medalına sahib oldu. Bununla da Natiq Eyvazov güləş üzrə Avropa Çempionatının qalibi olan birinci Azərbaycan idmançısı oldu. Həmin il İsveçdə baş tutan Dünya Çempionatını isə Natiq Eyvazov dördüncü pillədə başa vurdu.

1994-cü ildə Natiq Eyvazov Afina şəhərində (Yunanıstan) baş tutan Avropa Çempionatını 12-ci pillədə başa vursa da, Tampere şəhərində (Finlandiya) baş tutan Dünya Çempionatının gümüş medalına sahib oldu.

1995-ci ildə isə Natiq Eyvazov medala sahib ola bilmədi.Bezanson şəhərində (Fransa) Avropa Çempionatını beşinci, Praqa şəhərində (Çexiya) Dünya Çempionatını isə 14-cü pillədə başa vuran Natiq Eyvazov 1996-1997-ci illərdə Avropa Çempionatlarında uğursuzluqla üzləşdi. Natiq Eyvazov 1996-cı ildə Macarıstanda baş tutan turnirdə 24-cü, 1997-ci ildə Finlandiyada baş tutan turnirdə isə altıncı pillələrin sahibi oldu.

Azərbaycan Prezidenti Heydər Əliyevin 5 mart 1995-ci il tarixli Fərmanına əsasən Azərbaycan idmanında xidmətlərinə görə Natiq Sulduz oğlu Eyvazov "Tərəqqi" medalı ilə təltif edildi.

Daha sonra Natiq Eyvazov 1998-ci ildə Belarusda Avropa Çempionatının gümüş, 1999-cu ildə Bolqarıstanda Avropa Çempionatının isə bürünc medallarına sahib oldu. Dörd ildən sonra mübarizə apardığı Dünya Çempionatını isə o, onuncu pillədə başa vurdu.

2000-ci ilin yanvar-fevral ayları ərzində Natiq Eyvazov üç dəfə Dünya Olimpiya Təsnifat Turnirlərində mübarizə apardı və nəticədə Sidney Olimpiadasına lisenziyaya sahib oldu. Natiq Eyvazov qrup mərhələsinin birinci görüşündə Yeni Zelandiya nümayəndəsi Yoham Pellev ilə üz-üzə gəldi. Həmin görüşdə Natiq Eyvazov rəqibi üzərində 10:0 hesabı ilə inamlı qələbə qazandı. Növbəti görüşdə onun rəqibi Dünya Çempionatının alibi Kuba nümayəndəsi Lazaro Rivas oldu. Gərgin idman mübarizəsi şəraitində baş tutan görüşdə Natiq Eyvazov rəqibinə 1:6 hesabı ilə məğlub oldu. Bununla da Natiq Eyvazov növbəti mərhələyə vəsiqə qazanmaq şanslarını itirdi. Formal əhəmiyyətə sahib olan üçüncü görüşdə isə Natiq Eyvazov Dünya çempionu Türkiyə nümayəndəsi Ercan Yıldıza 4:0 hesabı ilə qalib gəldi. Bu minvalla da Natiq Eyvazov olimpiadanı yeddinci pillədə başa vurdu.

Olimpiadadan sonra Natiq Eyvazov 2001-ci ildə Avropa Çempionatını altıncı pillədə başa vursa da, Dünya Çempionatında uğursuz çıxış elədi və turniri 25-ci pillədə başa vurdu. 2002-ci ildə Avropa Çempionatında növbəti dəfə altıncı pillənin sahibi olan Natiq Eyvazov 2003-cü ildə Avropa və Dünya Çempionatlarında uğursuz çıxış eləsə də İstanbulda baş tutan hərbçilər arasında Dünya Çempionatının bürünc medalına sahib oldu.

Natiq Eyvazov 2004-cü ildə idmanla vidalaşdı.