Riyaziyyat

Əvvəllər təbiət elmləri arasında gizli fəaliyyət göstərən riyaziyyat ancaq hesablama fəndləri, həndəsi fiqurların sahə və həcmlərinin hesablanması üsulları, ədəd anlayışının genişləndirilməsi və bu kimi çoxlu miqdarda konkret materialların toplanması nəticəsində müstəqil bir elm kimi meydana çıxmışdır.^[17] Qeyd etmək lazımdır ki, bir zamanlar riyaziyyat ilə numerologiya, astrologiya kimi psevdoelm növləri arasında aydın sərhədlər yox idi.^[18] Həmçinin, riyaziyyata ezoterizm və okkultizmin tərkib hissəsi kimi baxılırdı.^[19][20][21]

Ölçmə tələbi ədədləri adlandırmaq və işarələmək, habelə, bu ədədlər üzərində əməllər aparmaq zərurətini doğurmuş, beləliklə, damcı-damcı toplanmış materiallar əsasında qədim bir elm olan hesab elmi meydana gəlmişdir. Natural ədədlər, nisbətlər nəzəriyyəsini və kəmiyyətlərin ölçülməsinin nəzəri əsasını qədim yunan riyaziyyatçıları yaratmışlar.^[22] Evklid Əsaslar əsərində sonsuz sayda sadə ədəd olduğunu göstərmiş, ədədlərin bölünməsinə dair teoremləri, iki parçanın ortaq ölçüsünü və iki ədədin ən böyük ortaq bölənini tapmaq üçün alqoritm (Evklid alqoritmi) yaratmış, kvadratı ikiyə bərabər olan rasional ədədin olmadığını göstərmişdir.^[23] Ədədlərin sonsuz natural sırası anlayışının yaranmasında Arximedin Psammit (az. Qum dənəciklərini sayma) əsərinin böyük rolu olmuşdur. Əsərdə sonsuz böyük ədədləri adlandırma və işarələmə qaydaları göstərilmişdir.^[24][25]

Hesabın daha mühüm inkişaf mərhələləri hind mədəniyyəti ilə bağlıdır. Hindlilərin ən böyük xidməti onluq say sistemini elmə daxil etmələri idi.^[26] Riyaziyyat elminin sonrakı inkişafı üçün Misir və Babilistanda hesab və həndəsəyə aid toplanmış bilik və təcrübənin xüsusi əhəmiyyəti vardır. Bir qədər sonra Babilistanda hesab elminin inkişafının davamı olaraq riyaziyyatın cəbr və triqonometriya kimi bölmələri yaranmağa başladı.^[27]

Lakin riyaziyyat elminin əsası sistematik və məntiqi şəkildə qədim Yunanıstanda qoyuldu. Qədim yunanların işləyib hazırladığı elementar həndəsə iki min il sonra qurulmuş deduktiv riyazi nəzəriyyələr üçün örnək oldu.^[28] Daha sonra hesab elmindən ədədlərin analitik nəzəriyyəsi kimi mühüm bir sahə ayrıldı ki, hal-hazırda o, ədədlər nəzəriyyəsi adı ilə məlumdur.^[29]

17-ci əsrdən başlayaraq riyaziyyatın inkişafında yeni bir dövr açılır. Dəyişən kəmiyyətlər və onlar arasındakı funksional asılılığın öyrənilməsi riyazi analizin yaranmasına gətirib çıxardı. Bu da öz növbəsində yeni bir riyazi nəzəriyyənin - diferensial və inteqral hesabının icadı üçün bazis oldu.^[30] Məlum olduğu kimi, mexanika və fizikanın əsas qanunları diferensial tənliklər şəklində yazılır və onların inteqarallanması riyaziyyatın əsas məsələlərindən biri kimi qarşıya çıxır.^[31]

Beləliklə, cəbri tənliklərlə yanaşı, elə tənliklərə də baxmaq lazım gəlir ki, burada axtarılan dəyişən ədəd deyil, hər hansı funksiyadır. Müəyyən şərtləri ödəyən belə funksiyanın axtarılması riyaziyyatın yeni bir sahəsi olan variasiya hesabını doğurur.^[32] Fəza forması kimi həndəsi fiqurların çevrilməsi və hərəkət, habelə, müstəvi və fəzanın müəyyən xassələrə malik çevrilmələri qrupu, bu çevrilmələrin analitik metodlarla ifadə edilməsi müasir riyaziyyat üçün fundamental olan analitik və proyektiv həndəsənin yaranmasına səbəb oldu.^[33]

17–18-ci əsrlərdə toplanmış təcrübə 19–20-ci əsrlərdə sürətlə inkişaf etdirilərək artıq təbiət elmlərinə və texnikaya tətbiq edilməyə başlandı. Riyaziyyatın təbiət elmləri ilə qırılmaz əlaqəsi, habelə onun ağır sənayeyə və hərbi texnikaya tətbiqinin daxili tələbi kimi kompleks dəyişənli funksiyalar nəzəriyyəsi yarandı. Bilavasitə texnika və fizikanın, xüsusilə də nəzəri mexanikanın riyaziyyat elmi qarşısında qoyduğu fasiləsiz tələbin məntiqi nəticəsi kimi vektor aparatı və onunla sıx surətdə bağlı olan tenzor hesabı yarandı.^[34][35]

19-cu əsrin sonunda riyaziyyatdakı fundamental böhran və bunun nəticəsində aksiomatik metodun sistemləşdirilməsi riyaziyyatda bilik partlayışına səbəb oldu. Hal-hazırda riyaziyyatın mövzular üzrə təsnifatında ən azı altmış üç birinci səviyyəli sahə öz əksini tapmışdır.

Natural, rasional və tam ədədlər üzərindəki əməllər ədədlər nəzəriyyəsinin yaranmasına gətirib çıxarmışdır. Bir vaxtlar ədədlər nəzəriyyəsi hesab adlandırdı. Sonralar riyaziyyatın inkişafı ilə əlaqədar olaraq bu bölmə genişləndi və daha nəzəri məsələlərlə məşğul olmağa başladı. Beləliklə, ədədlər nəzəriyyəsinin formalaşması nəticəsində hesab termini daha çox praktik hesablamalara aid edildi.^[36][37]

Ədədlər nəzəriyyəsinin erkən görkəmli nümayəndələri Evklid və İskəndəriyyəli Diofant idi.^[38] Ədədlər nəzəriyyəsinin mücərrəd formada müasir tədqiqi isə əsasən Pyer Ferma və Leonard Eylerlə bağlıdır. Nəticədə bu sahə Adrien Mari Lejandr və Karl Fridrix Qaussun töhfələri sayəsində tam olaraq öz bəhrəsini vermişdir.^[39]

Asan ifadə edilən bir çox problemin həlli çox zaman yüksəksəviyyəli riyazi metodlar tələb edir. Bunun bariz nümunəsi Fermanın son teoremidir. Bu fərziyyəni 1637-ci ildə Pyer Ferma ifadə etsə də onun isbatı uzun illər sonra, 1994-cü ildə Endryu Vayls tərəfindən verilmişdir.^[40] Başqa bir nümunə kimi Qoldbax fərziyyəsini göstərmək olar.^[41]

Ədədlər nəzəriyyəsi analitik ədədlər nəzəriyyəsi, cəbri ədədlər nəzəriyyəsi, ədədlərin həndəsəsi (metod yönümlü), diofant tənlikləri və transsendent nəzəriyyə (problem yönümlü) də daxil olmaqla müxtəlif tərkib hissələri əhatə edir.^[42]

Həndəsə riyaziyyatın ən qədim bölmələrindən biridir. Sahə və həcmlərin ölçülməsi, tikinti texnikasında bu ölçmələrdən istifadə edilməsi, sonralar isə geodeziya və astronomiya elmlərinin inkişafı çox qədim bir elm olan həndəsəni yaratdı. Bu proseslər bir-birindən asılı olmadan müxtəlif xalqlarda paralel olaraq inkişaf edirdi.^[43]

Həndəsədəki mühüm yenilik qədim yunanların isbat anlayışını gətirməsi idi ki, bununla da hər bir riyazi müddəanın isbatı başlıca tələbə çevrilir. Məsələn, iki uzunluğun bərabər olduğunu ölçməklə yoxlamaq yetərli deyil; bu bərabərlik əvvəlcədən qəbul edilmiş nəticələrə (teoremlərə) və ilkin müddəalara əsasən isbat olunmalıdır. İlkin müddəalar (postulatlar) öz-özünə aydın olduğu üçün isbatdan asılı deyil və ya tədqiqat predmetinin tərifinə daxildir (aksiomlar). Ümumi riyaziyyat üçün əsas olan bu prinsip ilk dəfə həndəsə üçün işlənib hazırlanmış və eradan əvvəl 300-cü ildə Evklidin Əsaslar kitabında sistemləşdirilmişdir.^[44][45]

Əlbəttə, bundan xeyli qabaq, Misir və Babil mənbələri vardı ki, onlarda hesab və həndəsənin müxtəlif məlumatları göstərilirdi. Lakin onların heç birində göstərilənlərin isbatına aid bircə eyham belə yox idi.^[46]

Evklid həndəsəsi 17-ci əsrə qədər öz metod və sərhədlərini dəyişmədən inkişaf etdi. Lakin 17-ci əsrdə fransız riyaziyyatçıları Rene Dekart və Pyer Fermanın koordinatlar üsulunu inkişaf etdirməsi mövcud paradiqmanın əsaslı dəyişməsinə səbəb oldu. Artıq həndəsi obyektləri cəbri üsullarla öyrənmək mümkün idi. Rəqəmləri nöqtələrlə göstərmək, nöqtələrə ədəd məzmunu vermək, bu sahədə elmi xeyli irəli apardı. Nəticədə bu yeni dövrün ən böyük nailiyyətlərindən birinə — analitik həndəsənin yaranmasına gətirib çıxardı. Sonralar koordinatlar üsuluna əsaslanmayan klassik metodların məcmusunu nəzərdə tutmaq üçün sintetik həndəsə termini daxil edildi.^[47]

Analitik həndəsə nöqtə, düz xətt, müstəvi, vektor, ikitərtibli xətt, ikitərtibli səth və onlara dair məsələləri öyrənir. Analitik həndəsə çevrə və parçalarla əlaqəsi olmayan əyrilərin öyrənilməsinə şərait yaradır. Belə əyriləri funsiyanın qrafiki, həmçinin qeyri-aşkar, çox vaxt cəbri tənlik kimi təyin etməklə öyrənmək olar. Həmçinin, analitik həndəsə ölçüsü üçdən böyük olan Evklid fəzalarını nəzərdən keçirməyə imkan verir.^[48]

19-cu əsrdə riyaziyyatçıların paralellik postulatına uymayan qeyri-Evklid həndəsələrinin mövcudluğunu kəşf etməsi riyaziyyatın möhkəm və dəyişməz əsaslarına olan inamı kökündən sarsıtdı. Postulatın doğruluğunu sual altında qoyan bu kəşf Rassel paradoksuna qoşulma kimi qiymətləndilirdi. Lakin yaranmış böhranın bu cəhəti aksiomatik metodun sistemləşdirilməsi və seçilmiş aksiomların doğruluğunun riyazi problem olmadığını qəbul etməklə həll edildi. Aksiomatik metod isə öz növbəsində aksiomların dəyişməsi və ya fəzanın xüsusi çevrilmələri zamanı dəyişməz qalan xassələrin nəzərə alınması ilə alınan müxtəlif həndəsələrin öyrənilməsinə imkan verdi.^[49]

Hazırda həndəsə aşağıdakı sahələrdən ibarətdir:

• Proyektiv həndəsə
• Afin həndəsə
• Diferensial həndəsə
• Çoxobrazlılar nəzəriyyəsi
• Riman həndəsəsi
• Cəbri həndəsə
• Topologiya
• Diskret həndəsə
• Qabarıq həndəsə
• Kompleks həndəsə

Cəbr tənliklər və düsturlar üzərində əməl aparma sənətidir. Cəbr hesabın davamı kimi inkişaf etmişdir. Lakin cəbrə məsələnin şərti ilə əlaqədar məchul kəmiyyətlər, onlar üzərində əməllər və s. daxil edilmişdir. Cəbrə aid ilkin tədqiqatlar 4 min il əvvəl Babilistanda aparılmışdır. O dövrdə kvadrat tənliyə və bəzi kub tənliyə ekvivalent olan müxtəlif məsələlər həll edilmişdir.

Cəbrin müstəqil və özünəməxsus bir bölmə kimi inkişafında iki qabaqcıl alimin – Diofant (III əsr) və əl-Xarəzminin (IX əsr) müstəsna xidmətləri olmuşdur.^[50][51] Diofantın yazdığı Hesab traktatının bir hissəsi (13 kitabdan 6-sı) və çoxbucaqlı ədədlər haqqında kitabın parçaları bizə gəlib çatmışdır. O Hesab əsərində qeyri-müəyyən tənliyə (4-cü dərəcəyə kimi) gətirilən məsələləri həll edir. Diofant məchulu, onun dərəcəsini, bərabərliyi və çıxmanı işarə etmək üçün həmin sözlərin ixtisarla yazılışından, yəni hərfi simvollardan istifadə etmişdir. Onun əsərləri P. Ferma, L. Eyler, K. Qauss və başqalarının tədqiqatları üçün başlanğıc nöqtə olmuşdur.^[52]

Əl-Xarəzmi isə Cəbr və müqabili… əsərində cəbri riyaziyyatın sərbəst bölməsi kimi şərh etmiş, 1 və 2 dərəcəli tənliklərin həlli və cəbri kəmiyyətlərlə əməllərin qaydasını vermiş, hədləri tənliyin bir tərəfindən digərinə əks işarə ilə köçürmə əməlini əl-cəbr adlandırmışdır.^[53]

Riyaziyyatı xüsusi işarələmələrsiz təsəvvür etmək qeyri-mümkündür. Biz onlara elə vərdiş etmişik ki, bəzən işarələmələrə əl atmadan sadə eynilikləri belə isbat edə bilmirik. Cəbri simvolların sistemləşməsində fransız riyaziyyatçısı Fransua Viyetin mühüm rolu olmuşdur.^[54] O, öz ideyalarını "Analitik sənətə giriş" (1591-ci il) əsərində şərh etmişdir.^[55] Bu əsər cəbr üzrə hər şeyi əhatə edən traktatın başlanğıcı olmalı idi. Viyet yazırdı: "Mənim şərh etdiyim sənət yenidir, ya da ən azı zaman-zaman köhnəlmiş və vəhşilərin təsiri altında təhrif olunmuşdur ki, mən ona tamamilə yeni şəkil verməyi lazımlı hesab etdim". Viyetin işarələmələrində bəzi çatışmazlıqlar olmasına baxmayaraq bu irəliyə doğru atılmış böyük bir addım idi. Bütün bunların nəticəsində cəbrin, onun üsul və simvolikasının inkişafı riyaziyyatın daha yeni sahələrinin inkişafına böyük təsir göstərdi.^[56]

XIX əsrə qədər cəbr əsasən xətti və çoxhədli tənlikləri öyrənilməsindən ibarət idi. XIX əsrin ortalarından cəbri tədqiqatlarda əsas diqqət tənliklər nəzəriyyəsindən ixtiyari cəbri əməllərin öyrənilməsinə keçdi. Əsas dönüş isə ədədi təbiəti olmayan obyektlər üzərində cəbri əməllərin müxtəlif nümunələri aşkar edildikdən sonra oldu.^[57] Bunun nəticəsində cəbri əməlin abstrakt anlayışı ayrıca təyin edildi. Bu dövrdə kvaternion cəbri, məntiq cəbri, matris hesabı və s. yaradıldı.^[58] Müasir cəbrin öyrəndiyi predmet universal cəbrin (üzərində cəbri əməllər təyin olunmuş çoxluğun) müxtəlif tipləridir.^[59][60]

Diferensial və inteqral hesabı 17-ci əsrin ikinci yarısında, demək olar ki, eyni zamanda və bir-birindən asılı olmayaraq iki böyük alim – Nyuton və Leybnits tərəfindən kəşf edilmişdir. Formaca müxtəlif, məzmunca bir-birinə tamamilə ekvivalent olan bu kəşfi Nyuton flyuksiyalar nəzəriyyəsi, Leybnits isə diferensial hesabı adlandırdı.^[61][62] Hər iki görkəmli alimin bu istiqamətdə apardıqları tədqiqatlarda əsas məsələ funksiyaların diferensiallanması əməli və ona tərs olan inteqrallama əməlindən ibarət idi.^[63]

18-ci əsrdə Eylerin funksiya anlayışını tətbiq etməsi və bir çox başqa nəticələr diferensial və inteqral hesabının genişlənməsinə səbəb olmuşdur.^[64] Hal-hazırda bu nəzəriyyənin elementar hissələri "diferensial və inteqral hesabı" (anqlo-amerikan ənənəsinə görə "calculus"), daha kompleks hissələri isə "analiz" adlandırılır.^[65]

Riyazi analiz isə öz növbəsində həqiqi və kompleks analizə bölünür. O digər riyazi sahələrlə kəsişən müxtəlif altsahələri əhatə edir. Bunlar aşağıdakılardır:

• Çoxdəyişənli funksiyaların analizi
• Funksional analiz
• İnteqrallama, ölçü nəzəriyyəsi və potensial nəzəriyyəsi
• Adi diferensial tənliklər
• Xüsusi törəməli diferensial tənliklər
• Ədədi analiz

Diskret riyaziyyat istər riyaziyyatın özündə və istərsə də onun tətbiqində əmələ gələn diskret strukturların xassələrini öyrənən bölmədir.^[66] Bununla belə ən mühüm xarakteristikaları sonlu və ya hesabi qiymətlər alan obyektlər diskret strukturlar adlanır. Belə strukturlar sırasına məsələn, sonlu qruplar, sonlu qraflar, informasiyaları dəyişdirən bəzi riyazi modellər, sonlu avtomatlar, Türinq maşınları aiddir.^[67][68] Bunlar finit (sonlu) xarakterli strukturlara misallardır. Diskret riyaziyyatın onları öyrənən bölməsi bəzən sonlu (finit) riyaziyyat adlanır.^[69] Finit strukturlardan başqa diskret riyaziyyatda, həm də sonsuz (infinit) diskret strukturlar (məsələn, sonsuz cəbri sistemlər, sonsuz qraflar, sonsuz avtomatlar) öyrənilir.^[70]

Klassik riyaziyyatın mühüm hissəsi kəsilməz xarakterli obyektlərin xassələrinin öyrənilməsi ilə məşğuldur. Öyrənilən obyektin diskret və ya kəsilməz modelinin istifadəsi istər obyektin özü, istərsə də tədqiqatçının öz qarşısına hansı məsələni qoyması ilə əlaqədardır.^[71][72] Riyaziyyatda kəsilməz modellərin (məsələn, cəbri həndəsə) öyrənilməsi üçün diskret riyaziyyatın üsullarından istifadə edilən bölmələri var və tərsinə diskret strukturların öyrənilməsində kəsilməz modellərin analizini inkişaf etdirmək üçün olan metodlardan (məsələn, ədədlər nəzəriyyəsində asimptotik metodlar) tez-tez istifadə olunur.^[73] Lakin diskret riyaziyyatın bir çox fəslinin spesifikası klassik riyaziyyatın limit və kəsilməzlik kimi fundamental anlayışlarından imtina etmək zəruriyyəti ilə bağlıdır, diskret riyaziyyatın bir sıra məsələri üçün klassik riyaziyyatın bəzi metodlarını tətbiq etmək olmur.^[74]

Diskret riyaziyyata aşağıdakılar daxildir:

• Kombinatorika
• Qraf nəzəriyyəsi və hiperqraflar
• Kodlaşdırma nəzəriyyəsi
• Matroid nəzəriyyəsi
• Diskret həndəsə
• Diskret ehtimal paylanmaları
• Oyunlar nəzəriyyəsi
• Diskret optimallaşdırma

Riyaziyyatın iki bölməsi – riyazi məntiq və çoxluqlar nəzəriyyəsi yalnız 19-cu əsrin sonlarından etibarən riyaziyyata aid edilməyə başlanılmışdır.^[75][76] Bu dövrdən əvvəl çoxluqlara riyazi obyekt kimi baxılmırdı və məntiqdən riyazi isbatlar üçün istifadə edilsə də, fəlsəfənin tərkib hissəsi sayılırdı və riyaziyyatçılar tərəfindən xüsusi olaraq öyrənilmirdi.^[77]

Riyazi məntiq riyaziyyatda tətbiq olunan mühakimə üsullarını tədqiq edir. Başqa bir baxış da vardır. Bu baxışa əsasən, riyazi məntiq riyaziyyatın üsulları ilə istənilən mühakiməni öyrənir. Nəhayət, əgər riyazi üsullar riyazi mühakimələrin öyrənilməsi üçün tətbiq olunursa, bu, isbatlar nəzəriyyəsi (metariyaziyyat) adlanır.^[78]

XX əsrin birinci yarısında riyaziyyatın aksiomatik quruluşu konsepsiyası meydana gəldi. Akademik Andrey Kolmoqorovun sözlərinə görə: "Bütün riyaziyyatın əsasında Georq Kantorun yaratdığı çoxluqlar nəzəriyyəsi durur".^[79] Çoxları hesab edirlər ki, Kantorun tədqiqatları riyaziyyatı daha ahəngdar və vahid edəcək, Hilbertin sözünə görə "cənnətə" çevirəcəkdir. Çoxluqlar nəzəriyyəsində ziddiyyətlər yarandığı və riyaziyyatçılar onun əsaslarını şübhə altına qoyduqları zaman Hilbert etiraz etmişdir: "Heç kimə bizi Kantorun cənnətindən qovmaq hüququ verilmir!".^[80]

Kantorun sonsuz çoxluqları öyrənməsindən riyaziyyatçılar əslində sonsuz çoxluqların varlığından şübhələnirdi, şübhələnməyənlər də sonsuz çoxluqlarla əməllər aparmaqdan çəkinirdi, ya da iki sonsuz çoxluq arasında riyazi olaraq (elementləri xaricində) bir fərq görə bilmirdilər.^[81] Kantorun tədqiqatı yalnız aktual sonsuz çoxluqları nəzərdən keçirməklə yox, eyni zamanda diaqonal arqumentinə görə sonsuzluğun müxtəlif ölçülərinin olmasını göstərməklə bir çox riyaziyyatçını müşkülə salmış, çoxluqlar nəzəriyyəsi üzərində böyük mübahisələr yaratmışdı.^[82][83] Kantorun çoxluqlar nəzəriyyəsi və sonsuzluğun müxtəlif ölçüləri o dövrün bir sıra nüfuzlu riyaziyyatçıları tərəfindən radikal qərar kimi qarşılanır, intuitiv cəhətdən çətin sayılırdı və qızğın mübahisələrə səbəb olurdu.^[84][85]

Əslində bu riyaziyyatın fundamental böhranını göstərən əsas amillərdən biri idi. Sonralar bu problem formallaşdırılmış çoxluq nəzəriyyəsi daxilində aksiomatik metodu sistemləşdirməklə həll olundu. Kobud desək, hər bir riyazi obyekt bütün oxşar obyektlərin çoxluğu və bu obyektlərin malik olduğu xassələrlə müəyyən edilir.^[86]

1930-cu illərin sonlarında Nikola Burbaki təxəllüsü ilə fəaliyyət göstərən bir qrup fransız riyaziyyatçısı bütün riyaziyyatı aksiomatika əsasında qurmaq arzusunda idi.^[87] Onlar özül kimi çoxluqlar nəzəriyyəsini götürdü. Ardınca birinci mərtəbə: nizamlı strukturlar, cəbr, ümumi topologiya, ölçü nəzəriyyəsi quruldu. Sonra ikinci mərtəbəni yüksəltmək lazım oldu. Burada, birinci mərtəbənin təşkilediciləri — cəbri, həndəsi və başqa strukturlar birləşməli idi. Bu cəhdlər tamamlanmamış qaldı, belə ki, məqsədin özü, görünür, bir qədər utopik idi. Bununla belə Burbaki kollektivi müasir riyaziyyatın inkişafına böyük töhfələr verdi. 1920-ci illərdə cəbr qeyri-adi inkişafa çatdı, riyaziyyatın cəbrləşməsi baş verdi. Bu prosesə əhəmiyyətli dərəcədə kömək göstərənlərin sırasında alman riyaziyyatçısı Emmi Nöterin və onun tələbəsi niderlandlı Bartell Lendert Van der Vardenin adını qeyd etmək lazımdır.^[88]

Statistika riyaziyyatın verilənlərin toplanması, təşkili, təhlili, şərhi və təqdimatı ilə məşğul olan bölməsidir. Statistikada müxtəlif riyazi üsullardan, xüsusən də ehtimal nəzəriyyəsinə əsaslanan prosedurlardan istifadə edilir.^[89]

Statistik nəzəriyyə statistik fəaliyyət riskinin minimuma endirilməsi kimi müxtəlif qərar qəbuletmə məsələlərini öyrənir. Riyazi statistikanın bu cür ənənəvi sahələrində statistik qərar qəbuletmə məsələsi xüsusi sərhədlər daxilində gözlənilən itki və ya xərc üçün məqsəd funksiyasının minimuma gətirilməsi ilə tərtib edilir.^[90] Optimallaşdırmadan istifadə baxımından statistikanın riyazi nəzəriyyəsi əməliyyatlar tədqiqi, idarəetmə nəzəriyyəsi və riyazi iqtisad kimi digər qərar qəbuletmə elmləri ilə kəsişir.^[91][92]

Hesablama riyaziyyatı real proseslərin hesablama texnikası vasitələri ilə tədqiqinə dair məsələləri öyrənir. Başqa sözlə, hesablama riyaziyyatı insanın hesablama qabiliyyəti üçün çox böyük olan riyazi problemlərin tədqiqi ilə məşğul olur.^[93] O riyazi modellərdən, ədədi üsulların və riyazi modellərin öyrənilməsində yaranan məsələlərin alqoritminin yenidən işlənməsi və tədqiqindən, proqramlaşdırma nəzəriyyəsi və texnologiyasından ibarətdir.^[94] Hesablama riyaziyyatı riyazi təsviri olan məsələləri hesablama eksperimenti vasitəsilə öyrənir.^[95] Bu eksperimentin 5 əsas mərhələsi var:^[96]

• Öyrənilən hadisənin riyazi modelinin qurulması və onun analitik üsullarla təhlili;
• Hesablama alqoritminin qurulması və onun keyfiyyətinin nəzəri yoxlanması;
• Proqramlaşdırma;
• Məsələlərin kompüterdə həlli;
• Alınan ədədi nəticələrin fiziki eksperimentlə müqayisəsi, riyazi modelin dəqiqliyinin qiymətləndirilməsi.

Riyazi modeli dəyişdikdə bu mərhələlər təkrarlanmalıdır.

Hesablama riyaziyyatında təqribi üsullar nəzəriyyəsinin böyük əhəmiyyəti var. Onun məqsədi minimum prosessor vaxtı ərzində lazımi dəqiqliklə həlli tapmaq üçün alqoritm yaratmaqdır. Buna görə də bir sıra sahələrdə (aviasiya və kosmik raket texnikası, astrofizika, nüvə energetikası, turbulentlik nəzəriyyəsi və s.) çoxprosessorlu yüksəkməhsuldarlıqlı sistemlərin (superkompüterlərin) tətbiqi tədqiqat prosesinə, layihələrin reallaşma müddətinə və effektivliyinə böyük təsir göstərir.^[97]

Riyaziyyat və maddi reallıq arasındakı əlaqə Pifaqor dövründən bəri fəlsəfi müzakirə mövzusudur. Antik filosof Platon iddia edirdi ki, maddi reallığı əks etdirən abstraksiyalar özlərində məkan və zamandan kənarda mövcud olan reallığı saxlayır. Başqa sözlə, riyazi obyektlər insan fəaliyyətindən asılı deyil və buna görə də icad yox, kəşf edilirlər. Nəticə etibarilə, riyazi obyektlərin hansısa şəkildə öz-özlüyündə abstraksiyada mövcud olmasına dair fəlsəfi baxışa çox vaxt riyazi Platonçuluq deyilir. Platonçuluğun özü isə sadəcə riyaziyyata xas olmayıb, daha ümumi anlayışdır və bir şeyin bizdən asılı olmayaraq mövcud olduğunu bildirir. Həmçinin, hazırkı "Platonizm" anlayışı Platonun öz baxışlarından fərqlənən başqa sahələrə də şamil edilir. Riyazi Platonçuların inancına görə fiziki aləm riyazi obyektlər sahəsinin qüsurlu kölgəsidir. Yəni fiziki aləmin kökləri riyazi sahədədir.

Riyaziyyatın tərifi və ya epistemoloji statusu – biliklər sistemindəki yeri haqqında fikir birliyi yoxdur.^[98] Təsadüfi deyil ki, riyaziyyatçılar riyaziyyatın, fiziklər fizikanın, tarixçilər tarixin nə olduğunu izah etməkdə çox vaxt çətinlik çəkirlər. Çünki riyaziyyatçı riyaziyyatın daxili məzmununu bilir, o, riyaziyyat dünyasının içərisindədir və onu kənardan seyr edib, digər yaxın hadisələrlə müqayisə etməkdə aciz qala bilər. Beləliklə, riyaziyyatın nə olduğunu bilmək artıq filosofluq məqamıdır.^[99] Eyni fikri riyaziyyatın sənət və ya elm olması barədə də demək olar. Bəziləri sadəcə deyirlər: "Riyaziyyat o şeydir ki, onunla riyaziyyatçılar məşğul olur". Məsələn, bir dəfə məşhur rus riyaziyyatçısı, akademik Markovdan riyaziyyatın nə olduğunu soruşduqda o zarafatla belə cavab vermişdir: "Riyaziyyat odur ki, onunla Qauss, Çebışev, Lapyunov, Steklov və bir də mən məşğul oluram".^[100][101]

Ümumi yanaşmaya görə riyaziyyatın tərifi tədqiqat obyektinə əsasən verilir. Bu baxımdan Aristotelə görə kəmiyyətləri öyrənən elmə riyaziyyat deyilirdi və bu tərif 18-ci əsrə qədər üstünlük təşkil edirdi. Bununla belə, Aristotel qeyd edirdi ki, yalnız kəmiyyətə fokuslanmaq riyaziyyatı fizika kimi elmlərdən fərqləndirməyə bilər; onun fikrincə mücərrədləşdirmə və kəmiyyətin real nümunələrdən "fikirdə təcrid edilə bilən" xüsusiyyət kimi öyrənilməsi riyaziyyatı başqa elmlərdən fərqləndirirdi.^[102]

19-cu əsrdə riyaziyyatçıların daha formal mövzularla (məsələn, sonsuz çoxluqlar) geniş məşğul olması yeni bölmələrin yaranmasına səbəb oldu. Bununla da sonralar həmin bölmələr də nəzərə alınmaqla riyaziyyata müxtəlif təriflər verildi. Məsələn, "Riyaziyyat sonsuzluq haqqında elmdir" (G. Kantor), "Riyaziyyat strukturlar və onların əlaqələri haqqında elmdir" (D. Hilbert). Sonuncu tərif bir zamanlar ən kafi tərif hesab edilsə də, sonrakı dövrdə güclü tənqid olunmuşdur. Fransız riyaziyyatçısı J. Dyedonne demişdir: "Riyaziyyat bizim sivilizasiyanın təməl daşlarından biridir". Göründüyü kimi riyaziyyat hər tərifə sığmır, təriflər də müəyyən mənada riyaziyyata daxildir, çünki riyaziyyat tərifləri də öyrənir.^[103]

Ciddilik

Riyazi əsaslandırma ciddilik tələb edir. Bu o deməkdir ki, təriflər mütləq birmənalı olmalı və isbatlar heç bir empirik dəlil və intuisiyadan istifadə edilmədən çıxarış qaydalarının ardıcıl tətbiqinə gətirilə bilinməlidir.^[104] Ciddi mühakimələr yalnız riyaziyyata xas deyil, lakin riyaziyyatdakı ciddilik standartı başqa sahələrə nəzərən çox yüksəkdə durur.

19-cu əsrin sonunda məlum oldu ki, əsas riyazi anlayışlara aid təriflər paradokslardan yayınmaq üçün kifayət etmir. Bu həmin anlayışların ciddiliyinə olan inamın sarsılması demək idi. Bütün bu problemlər sonralar aksiomların və riyazi nəzəriyyələrin apodiktik çıxarış qaydalarının tətbiqi ilə həll edildi; bu qədim yunanların irəli sürdüyü aksiomatik metodun yenidən təzahürü idi. Nəticə etibarilə "ciddilik" anlayışı riyaziyyat üçün çox da uyğun deyil, çünki isbat ya düzgündür, ya da səhvdir, "ciddi isbat" ifadəsi isə sadəcə olaraq pleonazmdır. Xüsusi ciddilik anlayışı riyazi isbatın sosiallaşmış aspektləri – onun elmi ictimaiyyətdə müzakirəsi və təsdiqlənməsi ilə bağlıdır. Bəzən bir isbatın etibarlı sayılması üçün uzun illər keçməli olur.^[105]

Bunlara baxmayaraq, "ciddilik" anlayışı yeni başlayanlara riyazi isbatın nə olduğunu öyrətmək üçün faydalı ola bilər.^[106]

Dünyanın əksər xalqları riyaziyyat elmini yunan mənşəli matematika termini ilə ifadə edirlər. Bu söz qədim yunanca "öyrənilmiş şey, bilik" anlamını verən mátēma (μάθημα) sözündən törəmişdir.^[107]

Eynilə, Pifaqorçuluqdakı iki əsas düşüncə məktəbindən biri matēmatikoi (μαθηματικοί) kimi tanınırdı — bu o zamanlar müasir mənada "riyaziyyatçılar" yox, "öyrənənlər" demək idi. Pifaqorçular, ehtimal ki, bu sözün istifadəsini yalnız hesab və həndəsənin öyrənilməsi ilə məhdudlaşdıran ilk insanlar idi. Aristotelin dövründə (e.ə. 384–322) isə bu məna tam olaraq təsbit edildi.^[108]

Matematika nəzəri elmlərin mərkəzində yerləşmiş və hesab, həndəsə, astronomiya və musiqini əhatə etmişdir; ərəbcəyə cəm halda "təalim", tək halda isə "təlim" kimi tərcümə olunmuş və bu dörd elm sahəsi "ülumi-təalim" adlandırılmışdır.^[109] Platon fəlsəfəsi və elmlərin Aristotelçi təsnifinin təsiri nəticəsində "matematika elmləri" daha üst pillədə dayanan "elmi-ilahiyə" hazırlıq kimi görülmüş və kök anlamı "məşq etmə" olan "riyazə" kəlməsinə oxşar olaraq "zehni məşq etdirən və hazırlayan" mənasında "riyazi elmlər" adlandırılmış, daha sonra bütün bu elmlərə qısaca riyaziyyat adı verilmişdir.^[110]

Tarixən latın və ingilis dillərində, təxminən 1700-cü ilə qədər, matematika termini daha çox "riyaziyyat" yox, "astrologiya" (bəzən isə "astronomiya") mənasını verirdi, lakin bu təxminən 1500-cü ildən 1800-cü ilə doğru tədricən indiki məna ilə əvəz olunmağa başladı. Sonralar isə bu dəyişiklik bir sıra yanlış tərcümələrlə nəticələndi. Məsələn, Müqəddəs Avqustinin xristianlara "matematiklərdən" ("mathematici", yəni astroloqlar) çəkinməsi üçün etdiyi xəbərdarlıq bəzən yanlış olaraq "riyaziyyatçıların günahlandırılması" anlamında tərcümə edilmişdir.^[111]

İbtidai icma quruluşu dövründə insanlar əşyaları, həmçinin müəyyən mücərrəd kəmiyyətləri — günləri, fəsilləri və ya illəri saymağı bilirdilər.^[112][113]

Bizə məlum olan ən qədim riyazi mətnlər isə iki böyük sivilizasiyanın — Mesopotamiya (İkiçayarası) və Misirin məhsuludur. Gündəlik həyatda tələb olunan ilk riyazi məsələlərin həlli məhz burada meydana gəlmişdir. Mesopotamiya və Misirdən tapılmış riyazi mətnlər eramızdan əvvəl 2000–1800-cü illərə aiddir.^[114] Mesopotamiyada yaşamış mədəniyyətlərdən (şumerlər, akkadlar, babillər, kaldeylər, aşşurlar, urlar, hurrilər və s.) zamanımıza Misirdəkindən min qat daha çox yazılı bəlgə qalmışdır. Bunun səbəbi Mesopotamiyalıların yazı vasitəsi kimi gil lövhələrdən istifadə etməsidir. Belə ki, bişirilmiş və ya günəş altında yaxşıca qurudulmuş gil lövhə istənilən qədər saxlanıla bilər. Aparılan qazıntılar nəticəsində yarım milyondan artıq lövhə tapılmışdır. Bu lövhələrin indiyə qədər incələnmiş olanlarının içində, beş yüzündə riyaziyyata rast gəlinmişdir. Bu bölgədə yaşamış mədəniyyətlərin riyaziyyatı haqqındakı biliyimiz məhz bu lövhələrdən qaynaqlanır.^[115] Bu lövhələrdən belə anlaşılır ki, Mesopotamiya riyaziyyatı Misirdəkindən daha irəli olmuşdur. Mesopotamiyalılar Misirlilərin riyazi biliklərinə əlavə olaraq ikinci dərəcəli bəzi çoxhədlilərin köklərini tapmağı, ikiməchullu tənliklər sistemini həll etməyi də bacarırdılar. Onu da qeyd etmək lazımdır ki, o dövrdə mənfi və irrasional ədədlər bilinmədiyi üçün ikinci dərəcəli bütün çoxhədlilərin köklərini tapmaları mümkün deyildi.

Mesopotamiyalılar, sonralar Pifaqor teoremi adlandırılan riyazi müddəanı da bilirdilər. π (pi) ədədini isə kvadratı 10 olan ədəd kimi müəyyən edirdilər. Daha sonralar onu 3, 15 kimi götürürdülər.^[116]Qədim yazıların bir çoxunda Pifaqor üçlüyü qeyd olunur və belə qənaətə gəlmək olur ki, Pifaqor teoremi bəsit hesab və həndəsədən sonra ən qədim və geniş yayılmış anlayışdır. Arxeoloji qeydlərə görə elementar hesaba (toplama, çıxma, vurma və bölmə) ilk dəfə Babil riyaziyyatında rast gəlinir. Həmçinin babillilər bucaqların altmışlıq say sisteminə əsaslanan dərəcə, dəqiqə və saniyə ilə ölçülməsi sisteminə malik idilər. Bir saatın 60 dəqiqəyə bölünməsi və dairənin 360 dərəcəyə malik olmasının müəyyən edilməsi Şumer mədəniyyətinin müasir dövrümüzə töhfəsidir.^[117][118]

Bu dövrün riyaziyyatını ümumilikdə qiymətləndirərkən aşağıdakı əsas xüsusiyyətlər nəzərə çarpır:

1. Həmin dövrdə teorem, düstur və isbat anlayışları yoxdur. Dəlillər empirik; əməllər isə ədədidir. Bunun belə olması qaçılmazdır, çünki o vaxt riyaziyyat simvolika ilə yox, sözlə ifadə edilirdi. Bu cür riyaziyyatda formal isbatların verilməsi mümkünsüz olmasa da, asan deyildir.
2. Bu dövrün riyaziyyatı praktik ehtiyaclara xidmət edirdi. Təqvim tərtibi, mühasibat, inşaat, mirasın bölüşdürülməsi kimi işlərdə riyaziyyatdan istifadə edilirdi.

Təqvimlərin tərtibi zamanı uzunmüddətli astronomik müşahidələr, ölçmə və hesablamalar zərurətə çevrilir, yeni riyazi məsələlər ortaya qoyurdu və bu da riyaziyyatın inkişafına səbəb olurdu. Maliyyə və mühasibat işləri isə həm də dövlət əhəmiyyətli sahələr idi. Bu da riyaziyyatın dərindən öyrənilib təkmilləşdirilməsinə səbəb olan əsas ehtiyaclardan biri idi.^[119]

Bu dövrün riyaziyyatı bu bölgədəki ölkələrin mədəni varlıqlarının fars işğalı nəticəsində yox olması ilə sona çatır.

Herodota görə riyaziyyat öz başlanğıcını Misirdən götürmüşdür.^[120] Məlumdur ki, Misir torpaqlarının 97%-i təsərrüfat üçün əlverişli deyil; əlverişli olan 3%-lik hissə isə Misirə həyat verən Nil deltası ilə bağlıdır. Buna görə də həmin torpaqlar son dərəcə qiymətli hesab olunur. Bütün bunlara baxmayaraq Nil çayının hər il daşması təsərrüfat sahələrinin hüdudlarını qeyri-müəyyən edirdi. Torpaq sahibləri öz torpaqlarına görə vergi ödədiyi üçün hər daşqından sonra dövlət öz yerölçənlərini göndərirdi ki, ölçmə apararaq hər torpaq sahibini əvvəlki ildəki qədər ərazi ilə təmin etsinlər. Herodot həndəsənin həmin ölçmə və hesablama işləri nəticəsində yaranmağa başladığını söyləyir.^[121]

Riyaziyyatın yaranışı haqqındakı ikinci baxış Aristotel (MƏ 384–322) tərəfindən bu cür irəli sürülmüşdür: Aristotelə görə riyaziyyatın yaranması yenə Misirlə bağlıdır. Amma bunu doğuran səbəb Nil daşqınlarının səbəb olduğu ölçmə-hesablama ehtiyacı yox, din xadimlərinin, kahinlərinin xeyli asudə vaxta malik olması idi.^[122] O dövrlərdə rahib sinfi Misir kimi ölkələrin vahid intellektual sinfi idi. Onların dolanışığı xalq və ya dövlət tərəfindən qarşılandığına görə intellektual fəaliyyət üçün asudə vaxtları çox olurdu. Beləliklə, bu baxışa görə başqaları şahmat, briç, qo və s. oyunları icad etdiyi kimi onlar da məşğuliyyət üçün həndəsə və hesabı, yəni o zamanın riyaziyyatını icad etmişdir.

Bu baxışların ikisi də doğru ola bilər; bəlkə də kahinlər yerölçənlərin işini asanlaşdırmaq istəmiş, ya da bölünmənin ədalətli olmasını yoxlamaq üçün üçbucaq, trapesiya şəklindəki ərazilərin sahələrinin necə hesablanacağını taparaq həndəsənin yaranmasına səbəb olmuşlar.^[123]

Qədim Misir riyaziyyatına aid yazılı bəlgələr yox deyiləcək qədər azdır. Bunun əsasən iki səbəbi vardır: bunlardan birincisi, qədim misirlilərin papirusa yazmaları; ikincisi isə İskəndəriyyə kitabxanasına məxsus yazılı sənədlərin baş vermiş üç böyük yanğın nəticəsində məhv olmasıdır. Bu yanğınlardan sonuncusu 641-ci ildə Misirin müsəlmanlar tərəfindən fəthi zamanı baş vermişdir.

Papirus Nil deltasında yetişən qırmızımtraq rəngli bitkinin orta uzunluğu 15–25 metr və eni 30–50 santimetr olan yarpaqlarıdır. Bu yarpaqlar kəsilir, birləşdirilir, preslənir və bəzi sadə proseslərdən keçirildikdən sonra yazı yazmaq üçün hazır hala gətirilir. Papirusun orta ömrü 300 ildir; bu müddətdən sonra nəmişlik, istilik və bir sıra oxşar səbəblərə görə pul-pul olub tökülür.^[124] Maraqlıdır ki, qərb dillərində "kağız" mənasını verən "paper", "papier" kimi sözlər Misir mənşəli "papirus" sözündən törəmişdir.^[125]

Misir riyaziyyatı ilə bağlı müstəsna şərtlər altında salamat qalmış iki papirus dövrümüzə qədər gəlib çatmışdır. Bunlar Raynd və Moskva papiruslarıdır.^[126]

Qədim Şərq təsirini bəzi yunan filosoflarının yazıları da təsdiq edir. Məsələn, Finikiyalı Fales Feresidə göndərdiyi məktubun bir hissəsində deyir:^[127]

"Mən (Fales) Solon ilə birlikdə Krit və Misirin kahin və astronomlarından elm öyrənmək üçün iki dəfə dənizləri aşmağı (boğulub ölməyi) gözə alaraq Misirə və Kritə getdik. Solon və mən sizin kimi müdrik bir insanı (Feresidi) görmək üçün dənizləri yenidən aşmaqdan (boğulub ölməyi bir daha gözə almaqdan) çəkinməyəcək qədər müdrikik. Solonu nəzərdə tuturam, çünki, izin versəniz, o da mənimlə gələcəkdir. Siz münzəvi (tərki-dünya) birisiniz, İoniyaya seyrək şəkildə gedərsiniz; xariciləri görməkdən xoşlanmaz və zənn edirəm ki, yazmaqdan başqa bir şey düşünməzsiniz. Amma yazmayan bizlər isə sevə-sevə Yunanıstan və İtaliyaya gedə bilərik".

Fales, Pifaqor, Sokrat, Platon və Aristotel kimi filosoflar həm də təlimlərin gizliliyinə xüsusi önəm verirdilər. Məsələn, Pifaqor Yaxın Şərqdən öyrəndiyi təlimləri xalqdan gizli saxlamış, yalnız sirri qorumağa and içmiş seçilmiş şəxslərə öyrədirdi.^[128][129] Qaydaları pozaraq gizli bilikləri xalqa sızdıran şagirdləri isə ölüm gözləyirdi. Məsələn, Pifaqorun tələbələrindən biri olan Hippas həndəsə ilə bağlı bilikləri xalqa açıqlamağa can atdığı üçün birbaşa Pifaqorun göstərişi ilə öldürülərək məktəbin bağçasına basdırılmışdır.

Platon isə müəllimi Sokratın ideyalarını müdafiə etdiyi üçün öldürülmək qorxusuna düşmüş və yunan xalqından qaçaraq 12 il Yaxın Şərqdə, Misirdə təhsil almış və qayıdandan sonra da həmin tənqidi-rasional düşüncələrin xalqdan gizlədilməsi prinsipini davam etdirmiş, Yaxın Şərqdən aldığı bilikləri yalnız özünün qurduğu Akademiyada seçilmişlərə öyrətmişdir.^[130] O, Dövlət əsərində yunan xalqının tənqidi-rasional düşüncəyə qarşı göstərdiyi mənfi davranışları sərt tənqid etmişdir.

MƏ 6-cı əsrdə Yunanıstanda riyaziyyat ayrıca bir fənn kimi meydana gəlməyə başladı.^[131] Təqribən MƏ 300-cü ildə Evklid riyazi bilikləri postulatlar və ilkin prinsiplər yoluyla nizama saldı və nəticədə müasir riyaziyyatda istifadə edilən tərif, aksiom, teorem və isbatdan ibarət olan aksiomatik metodu formalaşdırararq Əsaslar kitabında təqdim etdi. Hazırda Əsaslar kitabı bütün dövrlərin ən uğurlu və sanballı dərsliklərindən biri kimi qəbul edilir.^[132]

Antik çağın ən böyük riyaziyyatçısı kimi çox vaxt Sirakuzalı Arximedin (MƏ  287 – 212) adı çəkilir.^[133] O fırlanma cisimlərinin səthinin sahəsini və həcmini hesablamaq üçün düsturlar çıxarmış və sonsuz sıranın cəmini, parabola ilə məhdudlanmış sahəni hesablamaq üçün tükənmə metodunu tətbiq etmişdir. Onun öz dövrünü qabaqlayan işləri yalnız diferensial və inteqral hesabı yarandığı dövrdə düzgün qiymətləndirilmişdir.^[134] Yunan riyaziyyatının digər əlamətdar nailiyyətlərinə konik kəsiklər (Perqalı Apolloni, MƏ 3-cü əsr), triqonometriya (Nikeyalı Hipparx, MƏ 2-ci əsr) və cəbrin başlanğıcları (Diofant, MƏ 3-cü əsr) daxildir.

Bu gün bütün dünyada istifadə edilən hind say sistemi və onun əməllərindən istifadə qaydaları eramızın birinci minilliyi ərzində Hindistanda təkamül keçmiş və İslam riyaziyyatı vasitəsilə Qərb dünyasına ötürülmüşdür.^[135] Hind riyaziyyatındakı digər mühüm irəliləyişlərə sinus və kosinusun müasir tərifi və yaxınlaşmasının, həmçinin sonsuz sıraların erkən formasının verilməsi daxildir.^[136][137]

İslamın Qızıl dövründə, xüsusilə 9–10-cu əsrlərdə riyaziyyat elmi yunan riyaziyyatının nailiyyətlərinə əsaslanan bir çox yeniliklərə şahid oldu. İslam riyaziyyatının ən əlamətdar nailiyyəti cəbrin müstəqil bir bölmə kimi qurulması idi. Sferik triqonometriyadakı irəliləyişlər və hind say sisteminə "onda işarəsinin" (vergülün) daxil edilməsi də bu dövrün uğurlarındandır.^[138] Orta əsrlərdə yunan və ərəb dillərindəki riyazi mətnlər latın dilinə tərcümə edilmiş və Avropada yayılmağa başlamışdır.^[139]

Erkən müasir dövrdə Fransua Viyetin dəyişənlərin cəbri simvolikasını, Con Neperin loqarifmləri, Pyer Ferma və Rene Dekartın koordinatlar üsulunu, İsaak Nyuton və Qotfrid Leybnitsin diferensial və inteqral hesabını elmə daxil etməsi, Leonard Eyler kimi görkəmli riyaziyyatçıların bütün bu inqilabi yenilikləri standart terminologiya əsasında, vahid bir vücud halında birləşdirməsi və çoxsaylı teoremlərin kəşfi və isbatı ilə daha da zənginləşdirməsi Qərbi Avropada riyaziyyatın artan sürətlə yüksəlişinə səbəb oldu.^[140]

19-cu əsrin ən qabaqcıl riyaziyyatçısı isə bəlkə də, cəbr, riyazi analiz, diferensial həndəsə, matris nəzəriyyəsi, ədədlər nəzəriyyəsi və statistika kimi sahələrə çoxsaylı töhfələr vermiş alman alimi Karl Qaussdur.^[141]

Elm və mühəndislikdə kompleks anlayış və xassələri qısa və konkret şəkildə ifadə etmək üçün riyazi işarələrdən geniş istifadə olunur. Həmin işarələrin məcmusuna isə riyazi simvolika deyilir. Bura əməlləri, qeyri-müəyyən ədədləri, münasibətləri və başqa riyazi obyektləri göstərmək və daha sonra onları müxtəlif ifadələr və düsturlar halında birləşdirmək üçün istifadə edilən müxtəlif işarələr daxildir.^[142] Daha da dəqiq desək, ədədlər və başqa riyazi obyektlər, adətən, latın və yunan hərfləri ilə işarə olunur, bir sıra hallarda onlara indekslər daxil edilir. Əməl və münasibətlər, adətən, + (plyus),×(vurma), ∫ (inteqral), = (bərabərdir), < (kiçikdir) kimi müəyyən işarə və ya qliflərlə ifadə olunur.^[143][144] Bütün bu işarələr müəyyən qaydalara görə qruplaşdırılaraq riyazi ifadələrin qurulmasında istifadə edilir.^[145]

Riyaziyyat müxtəlif mücərrəd, ideallaşdırılmış obyektlərin xassələrini və onlar arasındakı qarşılıqlı əlaqəni öyrənən genişsahəli zəngin terminologiyaya malikdir. O qarşılıqlı fikir mübadiləsinə imkan verən standartlaşmış ciddi təriflərə əsaslanır.^[146]

Riyaziyyatda çoxlu texniki terminlərdən – polinom və homeomorfizm kimi neologizmlərdən istifadə olunur. Elə texniki terminlər də var ki, ümumişləkdir və onların riyazi mənaları işlənmə dəqiqliyinə görə azacıq dəyişə bilir. Həmin ümumişlək sözlərə misal kimi "və", "və ya" bağlayıcılarını göstərmək olar.^[147]

Riyaziyyat əksər elmlərdə hadisələrin modelləşdirilməsi üçün istifadə olunur ki, bu da eksperimental qanunlardan proqnozlar çıxarmağa imkan yaradır.^[148] Məlumdur ki, bu zaman riyazi anlayışların doğruluğu hər hansı təcrübədən müstəqildir, yəni belə proqnozların düzgünlüyü yalnız modelin adekvatlığından asılıdır.^[149] Qeyri-dəqiq proqnozların mövcudluğu riyazi anlayışların etibarsız olmasını yox, istifadə edilən riyazi modelin dəyişdirilməli olduğunu göstərir.^[150] Məsələn, Merkurinin periheli presessiyası yalnız ümumdünya cazibə qanununu daha yaxşı riyazi model kimi əvəz edən ümumi nisbi nəzəriyyəsinin köməyilə izah oluna bilmişdir.^[151]

Riyaziyyatın elm olub-olmaması hələ də fəlsəfi müzakirə mövzusudur. Amma praktiki olaraq riyaziyyatçılar, adətən, alimlərlə bir qrupda yer alır və riyaziyyat təbiət elmləri ilə sıx bağlıdır. Həmin elmlərdə olduğu kimi riyaziyyatda da yanlışlanabilmə kriterisi öz qüvvəsindədir, yəni riyazi nəticə və ya nəzəriyyə səhvdirsə, əks-nümunə göstərməklə bunu isbat etmək olar. Riyaziyyatda da nəzəriyyə və teoremlər bir sıra hallarda eksperimental yolla hasil edilir.^[152] Riyaziyyatdakı eksperimentlər seçilmiş nümunələr, fiqurlar üzərindəki hesablamalardan və ya riyazi obyektlərin digər ifadələrinin öyrənilməsindən ibarət olur. Məsələn, bir dəfə Qaussdan öz teoremlərini necə əldə etdiyini soruşduqda o belə cavab vermişdir: "Durch planmässiges tattonieren" (yəni sistemli eksperimentlər sayəsində).^[153] Lakin bir çox müəlliflər riyaziyyatın empirik dəlillərə əsaslanmadığını və beləliklə də müasir elm anlayışından fərqləndiyini vurğulayır.^{[154][155][156]}

19-cu əsrə qədər Qərbdə riyaziyyatın inkişafı əsasən texnologiya və elmin ehtiyacları ilə bağlı idi; xalis və tətbiqi riyaziyyat arasında aydın fərq yox idi.^[157] Məsələn, sayma ehtiyacı hesabın, yerölçmə, memarlıq və astronomiyanın ehtiyacları isə həndəsənin şövqlənməsinə səbəb olmuşdu. Sonralar İsaak Nyuton cazibə qanunu ilə planetlərin hərəkətini izah etmək üçün sonsuz kiçilənlər hesabını yaratdı. Üstəlik, həmin dövrdə riyaziyyatçıların çoxu həm də təbiət elmləri ilə məşğul olan alimlər idi (və ya əksinə idi).^[158] Bununla belə hətta Qədim Yunanıstanda da xalis riyaziyyat ənənəsi ilə bağlı diqqətəlayiq müstəsnalar olmuşdur.^[159]

19-cu əsrdə Karl Veyerştrass və Riçard Dedekind kimi riyaziyyatçılar get-gedə öz tədqiqatlarında daha çox daxili məsələlərə fokuslanırdılar.^[157][160] Bu proses riyaziyyatın iki yerə – xalis və tətbiqi riyaziyyata ayrılmasına səbəb oldu; riyazi püristlər isə ikincini, adətən, yüksək qiymətləndirmirdi. Halbuki, bu iki sahə arasındakı sərhədlər tez-tez bulanıqlaşır.^[161]

II Dünya müharibəsinin nəticələri ABŞ və başqa ölkərdə tətbiqi riyaziyyatın coşğun inkişafına səbəb olmuşdur.^[162][163] Tətbiqi yöndə formalaşdırılan nəzəriyyələrin bir çoxu xalis riyaziyyat perspektivi baxımından maraq doğurmuş və xalis riyazi nəticələrin riyaziyyat xaricində də tətbiqləri olduğu göstərilmiş; buna qarşılıq olaraq bu tətbiqlərin tədqiqi "xalis nəzəriyyə" haqqında da yeni anlayışlar vermişdir.^[164][165] Birinci hala misal kimi Loren Şvartsın paylanmalar nəzəriyyəsini göstərmək olar. Bu nəzəriyyə əvvəlcə yalnız kvant-mexaniki hesablamaların təsdiqi üçün nəzərdə tutulsa da tezliklə (xalis) riyazi analizin mühüm "alətinə" çevrilmişdir. İkinci hala misal isə həqiqi ədədlərin birinci dərəcəli nəzəriyyəsinin həllediciliyidir. Tarski alqoritmi göstərir ki, həqiqi ədədlər üzərindəki bütün doğru və yanlış ifadələr avtomatik olaraq müəyyən edilə bilər.^{[166][167][168]}

Müasir dövrdə xalis və tətbiqi riyaziyyat arasındakı fərq məsələsi riyaziyyatın geniş sahələrə bölünməsindən daha çox riyaziyyatçıların fərdi tədqiqat məqsədləri ilə əlaqədardır.^[169][170] Riyaziyyatın mövzular üzrə təsnifatında "ümumi tətbiqi riyaziyyat" üçün bölmə var, lakin "xalis riyaziyyat" qeyd edilmir. Bununla belə, həmin ifadələr hələ də bəzi universitet kafedralarının adlarında, məsələn, Kembric Universitetinin Riyaziyyat fakültəsində istifadə edilməkdədir.

"Riyaziyyatın ağlasığmaz effektivliyi" fenomenini ilk dəfə amerikan fiziki Yucin Viqner şərh etmişdir.^[171] Bir çox riyazi nəzəriyyələrin ilkin obyektindən kənarda da tətbiq oluna bilməsi faktdır. Bu tətbiqlər riyaziyyatın ilkin sahəsindən tamamilə kənarda, riyazi nəzəriyyənin tətbiqi zamanı tamamilə naməlum olan fiziki hadisələrə aid ola bilər. Riyaziyyatın bir çox sahəsində riyazi nəzəriyyələrin gözlənilməz tətbiqinə aid misallara rast gəlmək olar.^[172]

Mühüm misal kimi tam ədədin sadə vuruqlara ayrılmasını göstərmək olar. Bunun kəşf tarixinin xeyli uzaq olmasına baxmayaraq RSA kriptosisteminin yaradılması ilə ümumi istifadəyə daxil olmuşdur.^[173] İkinci tarixi misal ellips nəzəriyyəsidir. Vaxtilə qədim yunan riyaziyyatçıları ellipsləri konik kəsiklər kimi öyrənirdi. Lakin təxminən 2000 il sonra Yohan Kepler planetlərin elliptik trayektoriyaya malik olduğunu kəşf etdi.^[174]

19-cu əsrdə həndəsənin (xalis riyaziyyatın) daxili inkişafı qeyri-Evklid həndəsələrinin, ölçüsü üçdən böyük olan fəzaların və çoxobrazlıların müəyyənləşdirilməsinə və tədqiqinə səbəb oldu. Həmin vaxt bunlara fiziki reallıqla heç bir əlaqəsi olmayan anlayışlar kimi baxılırdı, lakin 20-ci əsrin əvvəllərində Albert Eynşteyn bu anlayışlardan istifadə edərək nisbilik nəzəriyyəsini yaratdı. Xüsusilə xüsusi nisbilik nəzəriyyəsindəki fəza-zaman dördölçülü qeyri-Evklid fəzası, ümumi nisbilik nəzəriyyəsindəki fəza-zaman isə (əyilmiş) dördölçülü çoxobrazlıdır.^[175][176]

Riyaziyyat və fizika arasındakı qarşılıqlı əlaqənin əlamətdar cəhətlərindən biri riyaziyyatın fizikadakı tədqiqatlara təkan verməsidir. Buna misal kimi pozitronun və Ω⁻ barionun kəşfini göstərmək olar. Hər iki halda nəzəriyyələrə aid tənliklərin izah edilməmiş həlləri var idi ki, bu da naməlum zərrəciyin mövcudluğuna dair fərziyyənin yaranmasına və bu zərrəciklərin axtarışına səbəb oldu. Bir neçə ildən sonra isə hər iki zərrəcik xüsusi təcrübələrlə aşkar edildi.^{[177][178][179]}

Fizikanın bütün qolları riyaziyyata əsaslanır və riyaziyyat olmadan fizika elmini təsəvvür etmək qeyri-mümkündür. Məsələn, təcil, sürət və ya cazibə qüvvəsi anlayışlarını başa düşmək üçün riyaziyyata ehtiyac duyulur. Müasir fizikadakı nisbilik nəzəriyyəsi, atom və nüvə fizikası, elementar hissəciklər fizikası kimi mövzular riyaziyyatla yaxından əlaqəlidir, çünki fiziklər kainatın sirlərini anlamaq üçün riyaziyyatdan istifadə edirlər. Məsələn, kvant mexanikasında diferensial və inteqral hesabı, cəbri üsullar və müəyyən dərəcədə ehtimal nəzəriyyəsi və statistika, nisbilik nəzəriyyəsində diferensial həndəsə, kvant sahə nəzəriyyəsində isə matris və qrup nəzəriyyəsi istifadə edilir. Əslində, əksər fiziklər üçün yetəri qədər riyaziyyat bilmək deyə bir şey yoxdur, çünki fizikada bir riyazi mövzu digərinə qapı açır.^[180]

Fiziki nəzəriyyələr sadəcə müşahidə etdiyimiz hadisələri açıqlamaqla qalmır, eyni zamanda hələlik bilinməyən vəziyyətlər haqqında da proqnozlar verə bilir ki, bütün bunlar da riyaziyyat sayəsində mümkün olur. Riyaziyyatın qüdrətini anlamağa kömək edən ən nəzərəçarpan örnəklərdən biri Neptunun kəşfidir. Neptun başqa planetlərdən fərqli olaraq teleskopla yox, nəzəri metod və hesablamalarla kəşf edilmiş planetdir.^[181]

Məlumdur ki, hər hansı fiziki hadisəni öyrənmək üçün əvvəl bu hadisəni xarakterizə edən amilləri bilmək lazımdır. Güman etmək olardı ki, bu amillərin sayının artırılması ilə fiziki hadisəni daha mükəmməl öyrənmək mümkündür. Lakin Heyzenberqin qeyri-müəyyənlik prinsipinə əsasən demək olar ki, bu fiziki hadisəni öyrənmək işində əlavə olaraq qeyri-müəyyənlik törədir. Bundan başqa, Bernar Miran informasiya nəzəriyyəsinə və termodinamika qanunlarına əsaslanaraq göstərir ki, müşahidə faktı özü informasiyanı təhrif edir və onun qismən itirilməsinə səbəb olur. Deməli, fiziki hadisənin öyrənilməsində amillərin sayının yalnız müəyyən həddə qədər artırılması məqsədəuyğundur. Həmin məqsədlə bu və ya digər fiziki hadisənin səmərəli tədqiqini təşkil etmək üçün modellərdən istifadə edilir. Model, Frenkelin dediyi kimi, prosesin (fiziki hadisənin) ən yaxşı karikaturudur. Deməli, modelə daxil olan parametrlərin (fiziki hadisəni xarakterizə edən amillərin) sayı nə qədər az olsa, model bir o qədər effektli sayılar.^[182]

Riyaziyyat və kompüter elmi dərin qarşılıqlı asılılığı malik olan sahələrdir. Bu iki sahə arasındakı əlaqələr uzun illər ərzində inkişaf edərək elm, texnologiya və sənayenin ümumi mənzərəsinə əhəmiyyətli təsir göstərmişdir. Riyaziyyat və kompüter elminin inteqrasiyası, xüsusilə kriptoqrafiya, maşın öyrənməsi və verilənlər elmi sahələrində bir çox texnoloji irəliləyişlərin hərəkətverici qüvvəsi olmuşdur.

Riyaziyyat və kompüter elmləri arasındakı əlaqənin mərkəzində məntiq, çoxluqlar nəzəriyyəsi və diskret riyaziyyat kimi fundamental anlayışlar dayanır.^[183][184] Məntiq kompüter proqramlarının tərtibi və onların düzgünlüyünün təhlili üçün zəmin yaradır. Çoxluqlar nəzəriyyəsi və diskret riyaziyyat isə kompüter elmində problemlərin modelləşdirilməsi və həlli üçün riyazi alətləri təmin edir. Bu anlayışlar kompüter elminin inkişafının təməl daşı olmuş və riyazi vasitələrin kompüter elminə inteqrasiyası yeni hesablama metodlarının və alqoritmlərinin yaradılmasına yol açmışdır.^[185]

Fizikadan fərqli olaraq biologiya anlaşılan səbəblərdən dolayı riyaziləşdirməyə müqavimət göstərir: canlıların dəyişkənliyi, zamandan və mühitdən asılılıqları, bioloji proseslərin çeşidliliyi və mürəkkəbliyi, səbəbiyyətin dağınıq (bəzən dairəvi) cəhəti, təcrübələrdəki əməli şərtlərə hakim olmağın çətinliyi tutarlılığın əldə edilməsini çətinləşdirir.^[186] Bütün bunlara baxmayaraq riyaziyyat bir çox bioloji proseslərin modelləşdirilməsi, analizi və proqnozlaşdırılması baxımından mühüm rol oynayır. Bioloji proseslər riyaziyyat vasitəsilə modelləşdirilərək kəmiyyət münasibətləri əldə edilir ki, bu da ölçmə və təcrübələrə əsaslanaraq nəticəyə gəlməyə imkan verir. Məsələn, ekologiyada populyasiya dinamikasının simulyasiyası, çirklənmənin yayılmasının ölçülməsi və ya iqlim dəyişikliyinin qiymətləndirilməsi üçün çoxlu modellərdən istifadə edilir.^{[187][188][189]}

Bioloji prosesləri modelləşdirmək üçün müxtəlif riyazi üsul və nəzəriyyələr tətbiq olunur. Bunlara diferensial tənliklər, statistika, ehtimal nəzəriyyəsi, optimallaşdırma üsulları, qeyri-səlis məntiq və s. aiddir. Məsələn, populyasiya dinamikası Lotka–Volterra diferensial tənliklər cütü ilə modelləşdirilə bilər.^[190]

Kimyəvi hadisələrin təsviri, kimyəvi strukturların analizi və kimyəvi sistemlərin davranışının proqnozlaşdırılması üçün müxtəlif riyazi model və metodlardan istifadə olunur.^[191] Məsələn, kvant kimyasında funksional analizdən, üzvi kimyada mürəkkəb üzvi molekulların xassələrini təxmin etmək üçün qraf nəzəriyyəsindən, kimyəvi kinetikada diferensial tənliklərdən, kimyəvi termodinamikada topologiyadan və diferensial həndəsənin üsullarından istifadə edilir.^[192]

Yer elmləri dedikə Yeri, onun sularını və hava təbəqəsini öyrənən tədqiqat sahələri başa düşülür. Bura geoloji, hidroloji elmlər və atmosfer elmləri daxildir. Hazırkı dövrdə Yer elmləri riyazi modellərin, kompüter simulyasiyalarının və verilənlərin təhlili üçün yeni üsulların artan istifadəsi səbəbindən getdikcə daha çox kəmiyyət xarakteri daşıyır. Yerin quruluşu və dinamikası riyaziyyat, fizika, kimya, kompüter elminin ən qabaqcıl üsulları çərçivəsində, geologiya, geofizika, geodeziya kimi Yer elmlərinin müştərək fəaliyyəti ilə öyrənilir. Yer elmləri bir çox hallarda birbaşa müşahidə oluna bilməyən, əlçatmaz və ya təhülkəli hadisə və obyektlərin öyrənilməsi ilə məşğul olur ki, burada da riyaziyyatın əvəzsiz rolu danılmazdır. Məsələn, plitə tektonikasının, Yer maqnetizminin tədqiqini, təbii fəlakət risklərinin proqnozlaşdırılmasını riyaziyyatsız təsəvvür etmək mümkün deyil.

Riyaziyyatın sosial elmlərə və davranış elmlərinə tətbiqi II Dünya müharibəsindən sonra çiçəklənməyə başlamışdır. Müasir dövrdə riyaziyyatın sosial elmlərlə əlaqəsi daha ciddi xarakter almışdır. Diferensial tənliklər, riyazi statistika, ehtimal nəzəriyyəsi, əməliyyatlar tədqiqi və s. riyazi sahələr iqtisadiyyat, menecment, linqvistika, sosiologiya və psixologiya kimi sosial elmlərin riyazi aparatını formalaşdırmışdır. Müasir kompüterlərin simvolizm imkanları sosial elmlərin, xüsusilə də psixologiya və linqvistikanın formallaşdırılması prosesində inqilabi dəyişikliklər yaratmışdır və beləliklə də simvolizm təbii dili əvəz etmişdir. Hazırda yüksəksəviyyəli proqramlaşdırma dillərinin istifadəsi, həmin dillərin get-gedə təbii dilə interpretasiyası insan-kompüter qarşılıqlı əlaqəsini daha əlçatan etmişdir. Bu isə kompüter elmi, dizayn, sosial elmlər, davranış elmləri və bir sıra başqa tədqiqat sahələrinin müştərək fəaliyyəti əsasında baş vermişdir.^[193][194]

Sosial elmlər içərisində riyaziyyatdan ən çox istifadə edən sahə isə iqtisadiyyatdır. Çox vaxt riyazi iqtisadiyyatın əsas postulatı kimi rasional fərdi aktor – homo ekonomikus ("iqtisadi insan") postulatından istifadə edilir. Bu modelə görə fərd öz maraqlarını maksimum qarşılamağa və tam informasiya əsasında optimal seçimlər etməyə can atır.^[195][196] İqtisadiyyatdakı bu atomistik baxış fərdi istəkləri nisbətən asan şəkildə riyaziləşdirməyə imkan verir. Bu cür riyazi modelləşdirmə iqtisadi mexanizmləri tədqiq etməyə imkan verir. Bəzi iqtisadçılar homo ekonomikus konsepsiyasını qəbul etmir və ya tənqid edir. Onlar həqiqi insanların məhdud informasiyaya malik olduğunu, yanlış seçimlər edə bildiyini, yalnız şəxsi mənfəətə yox, dürüstlük və fədakarlığa da diqqət göstərdiyini qeyd edirlər.^[197]

Riyazi modelləşdirmə olmadan statistik müşahidələrin və sınanabilməz spekulyasiyaların üstəsindən gəlmək çətindir. Riyazi modelləşdirmə iqtisadçılara fərziyyələri sınamaq və mürəkkəb qarşılıqlı əlaqələri təhlil etmək üçün strukturlaşdırılmış çərçivələr yaratmağa imkan verir. Modellər nəzəri anlayışlara qarşılıq gələn ölçülə bilən real proqnozlar verməklə şəffaflıq və dəqiqliyi təmin edə bilir.^[198]

20-ci əsrin əvvəllərində tarixi hərəkətlərin düsturlarla ifadə edilməsi yönündə inkişaf yaşanmışdır. 1922-ci ildə Nikolay Kondratiyev qtisadi artım və ya böhranın fazalarını izah edən ~50-illik siklin (Kondratiyev sikli) varlığını müəyyənləşdirdi.^[199] 19-cu əsrin sonuna doğru riyaziyyatçıların analizləri geosiyasəti də əhatə etməyə başladı.^[200] 1990-cı ildən etibarən Pyotr Turçin kimi alimlər kliodinamikanın inkişafına mühüm töhfələr verdi.^[201]

Sosial elmlərin riyaziləşdirilməsi heç də həmişə risksiz ötüşmür. Məsələn, Sokal və Brikmont Dəbdə olan cəfəngiyyat (1997) kitabında sosial elmlərdə elmi terminologiyanın, xüsusilə də riyaziyyat və ya fizikanın əsassız və ya sui-istifadəsini tənqid etmişdir.^[202]

Hazırda kompleks sistemlərin (işsizliyin təkamülü, biznes kapitalı, əhalinin demoqrafik təkamülü və s.) öyrənilməsində riyazi biliklərdən istifadə edilir. Bununla belə, xüsusilə işsizlik üçün hesablama kriteriyalarının və ya modellərin seçilməsi mübahisələrə səbəb ola bilər.

Təhsil

Riyaziyyat mədəni sərhədləri və zaman dövrlərini aşan fövqəladə imkana malikdir. İnsan fəaliyyəti kimi riyaziyyat təcrübəsinin sosial tərəfi var ki, bura təhsil, karyera, tanınma, populyarlaşma və s. daxildir. Təhsildə riyaziyyat kurikulumun nüvə hissəsidir və STEM akademik fənlərinin mühüm elementini təşkil edir. Peşəkar riyaziyyatçılar üçün önə çıxan fəaliyyət sahələrinə riyaziyyat müəllimliyi və ya professorluq, statistika, aktuar, maliyyə analitikası, iqtisad, mühasibat, əmtəə treyderliyi, kompüter məsləhətçiliyi və s. daxildir.^[203]

Arxeoloji dəlillər göstərir ki, riyaziyyatın tədrisi EƏ II minillikdə qədim Babilistanda başlamışdır.^[204] EƏ 300-cü ildən başlayaraq qədim Yaxın Şərqdə, sonra isə Yunan-Roma aləmində yazılı riyaziyyat təliminə aid qarşılaşdırıla bilən dəlillər aşkar edilmişdir.^[205] Bilinən ən qədim riyaziyyat dərsliyi təxminən EƏ 1650-ci ilə aid olan, Misirdən tapılmış Raynd papirusudur.^[206] Kitab qıtlığına görə Qədim Hindistanda riyazi təlimlər Vedalar dövründən bəri (EƏ  1500 – c. 500) əzbərlənmiş şifahi ənənə vasitəsilə çatdırılırdı.^[207] Çin imperatorluğunda Tan sülaləsi (BE 618–907) dövründə dövlət qulluğuna imtahan üçün riyaziyyat kurikulumu qəbul edilmişdi.^[208]

Qaranlıq dövrdən sonra Avropada riyaziyyat təhsili kvadriviumun bir hissəsi kimi dini məktəblərdə verilirdi. Pedaqogika sahəsində rəsmi təlim 16–17-ci əsrlərdə yezuit məktəblərində başlamışdır. Ənənəvi riyazi təhsil sistemi XIX əsrdə yaranmış və təqribən 100 ildə formalaşmışdır. Təhsil ibtidai və tam orta təhsil pilləsinə bölünmüşdür. İbtidai təhsil 3–5 ilə, tam orta təhsil isə 11–13 ilə başa çatırdı. Əvvəlcə, ibtidai riyazi təhsilin məzmununu elementar hesabi biliklər (sayma və hesablama) təşkil etmişdir. Sonradan ibtidai riyazi təhsilə həndəsənin elementləri də daxil edilmişdir. Orta məktəbin riyaziyyat kursunun məzmununu bir-birindən təcrid edilmiş riyazi bölmələr: hesab, cəbr, həndəsə və triqonometriya fənləri təşkil edirdi.

İbtidai məktəbdə riyaziyyatın təlimi üsulu kimi hesablama qaydalarının və bəzi mətnli hesab məsələlərinin həlli qaydalarının empirik öyrədilməsi tətbiq edilirdi

Orta məktəbdə riyaziyyatın təlimi üsulu kimi nəzəri materialın formal daxil edilməsi, anlayışların tərifinin və teoremlərin isbatının doqmatik verilməsi və məsələlərin həlli qaydalarının formal öyrədilməsi tətbiq edilirdi. İbtidai təhsilin məzmunu ilə orta təhsilin məzmunu arasında böyük uyğunsuzluq yaranmışdı. İbtidai təhsillə orta təhsil arasında varislilik yox idi. Beləliklə, ənənəvi riyaziyyat təliminin aşağıdakı nöqsanları çox qabarıq şəkildə özünü göstərirdi:

1. ənənəvi riyaziyyat təlimi məzmunca müasir riyaziyyat elmindən təcrid olunmuşdu;
2. ənənəvi riyaziyyat təliminin məzmunu şagirdin həyat təcrübəsindən təcrid olunmuşdu;
3. ənənəvi riyaziyyat təlimində tətbiq olunan təlim üsulları çox primitiv idi.

Ənənəvi riyaziyyat təliminin göstərilən nöqsanları XIX əsrin mütərəqqi pedaqoji ictimaiyyətini riyazi təhsilin islahatları uğrunda beynəlxalq hərəkat yaratmağa məcbur etdi. O dövrün mütərəqqi fikirli riyaziyyatçı-pedaqoqlarının təmsil olunduğu bu hərəkat 1899-cu ildə Riyaziyyat təhsili adlı beynəlxalq jurnal nəşr etməyə başladı.^[209][210] Bu jurnalın səhifələrində riyazi təhsilin mövcud problemləri müzakirə olunmağa başladı. 1908-ci ildə Romada IV Beynəlxalq riyaziyyat konfransı çağırıldı. Bu konfransda riyazi təhsilin islahatı üzrə beynəlxalq komissiya yaradıldı. Bu komissiyanın sədri görkəmli riyaziyyatçı-pedaqoq F. Kleyn seçildi. Komisiyanın rəyi əsasında riyazi təhsilin islahatının aşağıdakı əsas istiqamətləri müəyyən edildi:^[211]

ibtidai təhsil üzrə:

1. ibtidai məktəbin hesab kursunda həndəsənin rolunu artırmaq;
2. tədris məsələlərinin məzmununu şagirdin həyat təcrübəsinə uyğunlaşdırmaq;
3. hesabın tədrisində əyaniliyin rolunu artırmaq;

tam orta təhsil üzrə:

1. bir-birindən təcrid olunmuş 4 riyazi fənn (hesab, cəbr, həndəsə və triqonometriya) arasında sıx əlaqə yaratmaq;
2. məktəb riyaziyyat kursuna ali riyaziyyatın elementlərini daxil etmək;
3. mühüm riyazi ideyaların məktəb riyaziyyat kursunda rolunu gücləndirilmək;
4. tədris məsələlərinin həm məzmununu, həm də həll metodlarını təkmilləşdirmək.

Məktəb riyaziyyat kursuna aşağıdakı yeni bölmələrin daxil edilməsi təklif olundu:

1. elementar çoxluqlar nəzəriyyəsi;
2. riyazi məntiqə giriş;
3. müasir cəbrin elementləri (qrup, halqa, meydan, vektorlar);
4. ehtimal və riyazi statistikanın elementləri

Qeyd etmək lazımdır ki, riyazi təhsilin islahatı uğrunda beynəlxalq hərəkatın yaranmasına təkcə ənənəvi riyaziyyat təliminin göstərilən nöqsanları təkan verməmişdir. Dəqiq elmlərin sürətli inkişafı riyaziyyatda yeni bölmələrin yaranmasına səbəb olmuşdu. Bunun nəticəsində riyazi bölmələr arasında süni səddlər yaranmışdı. Riyaziyyatın bölünməz, tam bir elm olduğunu Nikola Burbaki təxəllüslü fransız riyaziyyatçıları kollektivinin fundamental tədqiqatları sübut etdi.

XX əsrin ikinci yarısında aparılan pedaqoji-psixoloji tədqiqatların nəticəsi göstərdi ki, kiçik yaşlı məktəblilərin riyazi abstraksiyaları mənimsəmə imkanlarından az istifadə olunur. Bununla da bəzi mühüm riyazi anlayışları təlimin erkən mərhələlərində aşkar şəkildə daxil etmək imkanı yarandı.

Riyaziyyat təliminin məqsədləri onun məzmununu müəyyən edir. Orta məktəbdə riyaziyyat təliminin məzmunu aşağıdakı mühüm tələbləri ödəməlidir:

1. ümumtəhsil əhəmiyyətli olmalı və mütərəqqi dünyagörüşü formalaşdırmalıdır;
2. riyaziyyatın texnikada və istehsalatda tətbiqinə imkan yaratmalıdır;
3. orta təhsili başa vurmağı və ali təhsil almağı təmin etməlidir;
4. peşə aldıqda riyazi bilikləri tətbiq edə bilmək imkanı yaratmalıdır.

Orta məktəb riyaziyyat kursunun nüvəsini aşağıdakı bölmələr təşkil edir:

1. ədədi sistemlər;
2. kəmiyyətlər;
3. tənliklər və bərabərsizliklər;
4. riyazi ifadələrin eynilik çevirmələri;
5. koordinatlar və vektorlar;
6. funksiyalar;
7. həndəsi fiqurlar və onların xassələri;
8. cəbr və analizin başlanğıcı.

Təlim prosesi, o cümlədən riyaziyyatın təlimi prosesi hər bir şagirdin şəxsiyyət kimi formalaşmasına fəal təsir imkanına malikdir. Riyaziyyat təlimi gənc nəslin düzgün tərbiyəsi probleminin ümumi məsələlərinin həlli üçün böyük əhəmiyyət kəsb edir. Riyaziyyat təliminin tarixi göstərir ki, riyaziyyat təlimi düzgün təşkil olunarsa o şagirdlərdə dürüstlük, doğruluq, dözümlülük, vətənpərvərlik və s. mənəvi keyfiyyətlərin formalaşmasında əvəzsiz xidmət göstərə bilər.

Şagirdin riyaziyyatı öyrənməyə marağının tərbiyə olunmasında onun yaradıcılıq və qələbə sevinci yaşamasının da əhəmiyyəti böyükdür. Bunlar təkrar olduqca şagirdin riyaziyyatı öyrənməyə marağı artar və bu maraq dərin və uzunmüddətli olar.

Riyaziyyat təlimində şagirdlərin estetik tərbiyəsinə də diqqət yetirmək lazımdır. Estetik tərbiyə dedikdə bütün incəsənət sahələrinə aid olan, bizi əhatə edən aləmdəki gözəlliklərin bütün formalarına aid bilik və bacarıqlar sisteminin formalaşması başa düşülür. Riyaziyyat təbiətinə görə şagirdlərdə sözün geniş mənasında gözəl hislər tərbiyə etmək üçün geniş imkanlara malikdir: simmetrik fiqurların xassələri, düzgün çoxbucaqlıların xassələri, fiqurların ölçülərinin nisbəti və s. şagirdlərdə estetik hislərin oyanmasına imkan yaradır.

Məktəb dövründəki riyazi potensial və müsbət gözləntilər bu sahədəki karyera marağı ilə güclü əlaqəyə malikdir. Müəllim, valideyn və yaşıdların həvəsləndirici təsiri kimi xarici amillər də riyaziyyata maraq səviyyəsinə təsir edə bilər. Riyaziyyatı öyrənən bəzi tələbələr fənn bacarıqları ilə bağlı narahatlıq və ya qorxu inkişaf etdirə bilər. Bu riyaziyyat qorxusu (fobiyası) adlanır və akademik fəallığa təsir edən ən gözəçarpan pozuntudur. Riyaziyyat fobiyası valideyn və müəllim münasibətləri, sosial stereotiplər və fərdi xarakter kimi müxtəlif amillərə görə inkişaf edə bilər. Məsələn, Tayvan və Yaponiyada valideynlər məktəb uğurunda insanın fitri intellektual qabiliyyətinə yox, səyə daha çox önəm verir, uşağı da bu yöndə tərbiyələndirirlər.

Narahatlığın aradan qaldırılmasına kömək üçün təlim yanaşmalarının dəyişdirilməsi, valideyn və müəllimlər arasındakı qarşılıqlı əlaqənin gücləndirilməsi və bəzən fərdi müalicə üsullarının tətbiqi məqsədəuyğundur.^[212][213]

Psixologiya (estetika, yaradıcılıq və intuisiya)

Riyazi teoremin etibarlılığı yalnız isbatın ciddiliyinə əsaslanır ki, bu da nəzəri olaraq kompüter proqramı ilə avtomatlaşdırıla bilər. Lakin bu heç də o demək deyil ki, riyazi fəaliyyətdə yaradıcılığa yer yoxdur. Əksinə, bir çox mühüm riyazi nəticələr (teoremlər) digər riyaziyyatçıların həll edə bilmədiyi problemlərin həllidir və onların həll yolunun icadı həll prosesinin əsas yolu ola bilər.^[214][215] Buna misal kimi Aperinin teoremini göstərmək olar: Rocer Aperi yalnız isbat üçün ideyaları irəli sürmüş və formal isbat yalnız bir neçə ay sonra başqa üç riyaziyyatçı tərəfindən verilmişdir.^[216] Yaradıcılıq və ciddilik riyaziyyatçıların fəaliyyətinin yeganə psixoloji cəhətləri deyil. Bəzi riyaziyyatçılar öz fəaliyyətlərinə bir oyun, daha spesifik olaraq "pazl çözmə" kimi baxırlar. Riyazi fəaliyyətin bu cəhəti əyləncəli riyaziyyatda diqqətə çatdırılır.^[217]

Riyaziyyatçılar riyaziyyatın estetik dəyərini də görürlər. Onu gözəllik kimi müəyyən etmək çətindir, o, adətən sadəlik, simmetriya, tamlıq və ümumilik kimi keyfiyyətləri özündə birləşdirən zərifliklə bağlıdır. G. H. Hardi Riyaziyyatçının müdafiəsi əsərində estetik mülahizələrin özlüyündə xalis riyaziyyatın öyrənilməsinə haqq qazandırmaq üçün kifayət etdiyinə dair inamını ifadə etmişdir. O, həmçinin riyazi estetikaya töhfə verən əhəmiyyətlilik, gözlənilməzlik və qaçılmazlıq kimi başqa kriteriyaları müəyyənləşdirmişdir.^[218] Paul Erdos bu hissi ən gözəl isbatların ilahi toplusu olduğu fərz edilən "Kitab" haqqında danışaraq daha ironik şəkildə ifadə etmişdir. 1998-ci ildə Erdösdən ilhamlanaraq yazılmış Kitabdan isbatlar kitabı xüsusilə yığcam və aşkar riyazi arqumentlərin toplusudur. Bura daxil olan zərif nəticələrə misal kimi sonsuz sayda sadə ədədin olmasına dair Evklid isbatı və harmonik analiz üçün sürətli Furye çevirməsini göstərmək olar.^[219]

Bəziləri hesab edir ki, riyaziyyatı elm kimi düşünmək onun yeddi ənənəvi liberal sənətdəki imkanlarını və tarixini kiçiltmək deməkdir.^[220] Bu cür baxış fərqinə səbəb olan bir cəhət, riyazi nəticələrin icad (sənətdəki kimi) və ya kəşf (elmdəki kimi) olması ilə bağlı fəlsəfi mübahisələrdən qaynaqlanır.^[177]

Riyaziyyat və incəsənət

Riyaziyyat öz təbiəti etibarilə yalnız ədədlərdən, simvollardan ibarət bir fənn deyil. Dərin riyazi duyumu olmayan biri üçün riyazi mahiyyət heç bir məna kəsb etməyə bilər, lakin riyaziyyatçı üçün bütün bunlar zövq və heyranlıq mənbəyi, estetika və gözəlliyin təzahürüdür. Bütün bu daxili zərifliyə əlavə olaraq riyaziyyat həm də incəsənətlə həmahəngdir. Riyaziyyatın memarlıq, rəsm, musiqi və s. sahələrdəki tətbiqləri bunun əyani sübutudur.^[221]

İncəsənətin bir sıra sahələrində simmetriya, mütənasiblik, qızıl nisbət kimi riyazi anlayışlardan istifadə olunur. Renesans dövrünün sənətkarları rəsm və heykəllərində tarazlıq və gözəlliyi əldə etmək üçün çox vaxt qızıl nisbətdən istifadə etmişdir. Məsələn, Da Vinçinin Mona Liza (Cokonda) portreti uzun illər tədqiqatçıların nəzərini cəlb etmişdir. Tədqiqatçılar aşkar etmişdir ki, şəkilin kompozisiyası düzgün ulduz şəkilli beşbucaqlının hissələri olan qızıl üçbucaqlılara əsaslanıb. Rafaelin Məsumların qətli əsərində isə qızıl nisbətin digər elementi olan qızıl spiral nəzərə çarpır.

Rəsmdə rənglərin harmoniyası, şeirdə isə sözlər arasında nizam, məna bütövlüyü olduğu kimi, riyaziyyatda da əməllər arasında nizam, məsələlərin həllində, teoremlərin isbatında gözəllik və harmoniya vardır. İngilis riyaziyyatçısı Hardi Riyaziyyatçının müdafiəsi kitabında belə demişdir: "Bir riyaziyyatçının etdiyi şey bir rəssam və ya şairinki qədər gözəl olmalıdır. Düşüncələr, rənglər və sözlərdə olduğu kimi harmonik şəkildə bir-birini tamamlamalıdır. Dünyada çirkin bir riyaziyyat üçün qalıcı yer yoxdur".^[222]

İncəsənətlə riyaziyyatın bir əlaqəsi də ondan ibarətdir ki, bəzi rəssamlar öz yaradıcılığını həyata keçirmək üçün öz riyazi təfəkkürünü inkişaf etdirmiş və ya ondan yararlanmışdır. Luka Paçoli (təx. 1145-1514), Leonardo Da Vinçi (1452-1519), Albrext Dürer (1471-1528), Maurits Kornelis Eşer (1898-1972) kimi görkəmli sənətkarları bura aid etmək olar. Təəccüblü deyil ki, riyaziyyatın daxili estetik keyfiyyətləri işığında bir çox riyaziyyatçılar özlərini yalnız teoremlərin isbatı ilə yox, həm də sənətkarlıqla ifadə etmişlər.

İncəsənət tənqidçiləri sənəti müzakirə və təhlil etmək üçün vahid dil inkişaf etdirmişlər. Belə çıxır ki, incəsənətin təhlili zamanı müəyyən riyazi sahələr də fayda verə bilər. Məsələn, bir çox sənət əsərlərinin riyazi mənada simmetrik olması gözoxşayan cəhətlərdən biridir. Simmetriyanın tədqiqi riyaziyyatda uzun müddət ərzində qeyri-aşkar olaraq aparılsa da, müəyyən mənada onun sistemli öyrənilməsi olduqca yenidir. Məhz Feliks Kleyn (1849–1925) göstərmişdir ki, hər bir həndəsəni onlara aid maraqlı xassələri saxlayan həndəsi çevirmələrə baxmaqla da təsnif etmək olar. Xüsusilə, izometriyası olan həndəsi çevirmələrə baxmaq Evklid, sferik və ya Boyyai-Lobaçevski həndəsəsində maraq doğurur. İzometriya çevirməsində məsafə saxlanılır.

Əlbəttə, nəzərə almaq lazımdır ki, riyaziyyatçıların (və başqalarının) riyazi ideyalardan istifadə edərək təhlil etdikləri bir çox sənət əsəri rəssamın həmin riyazi ideyaları öz işinə daxil etmək cəhdlərini əks etdirməyə bilər. Təbii ki, kubşəkilli qutu düzəldən birinin kubun müntəzəm çoxbucaqlı (bütün təpələri eyni və bütün üzləri konqruyent olan nizamlı çoxbucaqlı) olduğunu dərk etməsi məcburi olmadığı kimi, toxuculuq ustasının da izometriyalar haqqında bilməsi məcburi deyil. Riyaziyyatçılar isə Evklid müstəvisindəki izometriyaları sürüşmə (translyasiya), fırlanma (rotasiya), əksetmə (refleksiya) və sürüşmə-əksetmə (transfleksiya) kimi fərqləndirir. Beləliklə, riyaziyyatçı xalçanın dizaynında hansı izometriyalardan istifadə edildiyini söyləyə bilər, lakin bu, mütləq olaraq xalça dizaynerinin hər hansı riyazi düşüncəyə istinad etdiyini göstərmir.

Simmetriyanın təhlilində əsas vasitə qrup anlayışı olmuşdur. 19-cu əsrin sonlarında qrup nəzəriyyəsi kristalloqraflara kristalların və təbii mənşəli başqa strukturların simmetriyasının anlaşılmasında köməkçi vasitə kimi istifadə olunurdu. Sonralar qrup nəzəriyyəsinin mülahizələrindən istifadə olunaraq tesselasiya və naxışların təsnifatına həsr olunmuş tədqiqatlar xeyli genişləndirilmişdir.

Bir çox insanlar simmetriya və naxış haqqındakı riyazi biliklərin başqa sahələrin alimlərinə, eləcə də geniş ictimaiyyətə yayılmasında mühüm rol oynamışlar. Belə şəxslərdən biri alman alimi Herman Veyldir. Onun Simmetriya kitabı bu barədə yazılmış ilk və ən effektiv kitablardan biridir. Bu cür əsərlər və onların təbliği riyazi ideyalarla incəsənət sahələri arasındakı əlaqəni dərindən başa düşməyə imkan yaratmış, incəsənət yaradıcılığı üçün yeni perspektivlər açmışdır.^[223]

Riyaziyyata rast gəlinən sahələrdən biri də musiqidir. Rəsmdə olduğu kimi musiqidə də harmoniya, simmetriya kimi anlayışlar mövcuddur. Musiqi bir çox cəhətdən riyaziyyatla dərindən əlaqəlidir. Tarixə nəzər saldıqda məlum olur ki, musiqinin inkişafında riyaziyyatçıların da rolu böyük olmuşdur. Musiqi nəzəriyyəsi ilə bağlı ilk fundamental tədqiqatlar məhz Samoslu Pifaqorun adı ilə bağlıdır. Pifaqor və onun ardıcılları fəlsəfə, riyaziyyat, astronomiya ilə yanaşı musiqiyə də ciddi diqqət yetirirdi. Pifaqor məktəbinin tələbələri kainatın harmoniyasını dərk etməyə çalışır, ədədləri və onlar arasındakı əlaqələri bu harmoniyanın əksi hesab edirdilər. Pifaqor musiqinin əsasını təşkil edən məqamları ədədlərin — konsonansların ilahi harmoniyası kimi qəbul edirdi. Onun fikrincə, musiqinin qüdrəti melodiyanın etosunun insan qəlbinə təsirindən ibarətdir.

Platona görə də musiqi harmoniyası — mikrokosmos, kainatın bir hissəsidir. Kosmosun musiqi-kəmiyyət ifadəsi simvolik olaraq, tetraktiddə — ilk dörd rəqəmin cəmində (dekadada: 1+2+3+4=10) öz ifadəsini tapır və bu da əsas musiqi intervallarını: oktava (2:1), kvinta (3:2), kvarta (4:3) əmələ gətirir. Bunlar Pifaqor quruluşunun əsasını təşkil edən riyazi hesablamalar nəticəsində əldə olunmuş bir sistemdir. Bir çox filosoflar bu məktəbdən bəhrələnmişlər.

Kainatın harmoniyası kontekstində ədədlərin fəlsəfəsinə, mütənasiblik estetikasına əsaslanaraq, musiqi səsləri, intervallar (o cümlədən, mikrotonlar), konsonans və dissonanslar, məqamlar, musiqinin quruluşu haqqında nəzəri sistemlər meydana gəlmişdir.^[224]

Sonralar tarixi-mədəni inkişaf nəticəsində musiqi ilə riyaziyyat bir qədər uzaqlaşmış, ayrıca müstəqil sahələr kimi inkişaf etmişdir. Buna baxmayaraq bir sıra riyaziyyatçılar yenə də musiqi nəzəriyyəsi ilə dərindən maraqlanmış, onun inkişafına səy göstərmişdir. Məsələn, riyaziyyat tarixinin ən məhsuldar riyaziyyatçılarından biri, dahi isveçrəli alim L. Eyler 1727-ci ildə "Səs haqqında dissertasiya" əsərində yazırdı ki, burada onun əsas məqsədi musiqini riyaziyyatın əsas hissəsi kimi təqdim etmək olub. Daha sonra o, özünün məşhur Yeni musiqi nəzəriyyəsinə cəhd kitabını yazır.^[225] Əsasən dissonans və konsonans intervalların təhlilinə həsr olunan və həm riyaziyyatçılar, həm də musiqiçilər tərəfindən çətin başa düşülən bu kitab haqqında zarafatla belə deyirdilər: "Burada riyaziyyatçılar üçün həddindən artıq musiqi, musiqiçilər üçün isə həddindən artıq riyaziyyat var"^[226]

Kütləviləşmə

Populyar (kütləvi) riyaziyyat dedikdə ümumi auditoriyaya yönəlmiş riyazi təqdimat başa düşülür. Bu zaman texniki terminlərin minimal istifadəsi, əyanilik, dilin sadə və anlaşıqlı olması və sair xüsusi əhəmiyyət kəsb edir. Lakin riyaziyyatı bu cür təqdim edərkən müəyyən çətinliklər də yarana bilər, çünki riyazi obyektlər son dərəcə mücərrəddir və ictimaiyyətin geniş bir qismi riyaziyyat fobiyasından əziyyət çəkir. Bununla belə, populyar riyaziyyat yazılarında tətbiqlərdən və ya mədəni bağlantılardan istifadə etməklə bunun öhdəsindən gəlmək olar. Bütün deyilənlərə baxmayaraq, riyaziyyat nadir hallarda çap və ya televiziya mediasında populyarlıq mövzusu olur.

Mükafatlar

Riyaziyyat üzrə ən nüfuzlu mükafat 1936-cı ildə təsis edilmiş, dörd ildən bir (İkinci Dünya müharibəsi istisna olmaqla) dörd nəfərə verilən Filds medalıdır.

Riyaziyyata aid başqa nüfuzlu mükafatlara daxildir:

• Abel mükafatı
• Çern medalı
• Leroy P. Stil mükafatı
• Volf mükafatı

• Boyer, C. B. (1991). A History of Mathematics (2nd ed.). New York: Wiley. ISBN 978-0-471-54397-8.
• Eves, Howard (1990). An Introduction to the History of Mathematics (6th ed.). Saunders. ISBN 978-0-03-029558-4.
• Kline, Morris (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Paperback ed.). New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-506135-2.
• Monastyrsky, Michael (2001). "Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal" (PDF). CMS – NOTES – de la SMC. Canadian Mathematical Society. 33 (2–3). 13 avqust 2006 tarixində orijinalından arxivləşdirilib (PDF).
• Oakley, Barbara (2014). A Mind For Numbers: How to Excel at Math and Science (Even If You Flunked Algebra). New York: Penguin Random House. ISBN 978-0-399-16524-5. A Mind for Numbers.
• Peirce, Benjamin (1881). Peirce, Charles Sanders (ed.). "Linear associative algebra". American Journal of Mathematics (Corrected, expanded, and annotated revision with an 1875 paper by B. Peirce and annotations by his son, C. S. Peirce, of the 1872 lithograph ed.). 4 (1–4): 97–229. doi:10.2307/2369153. hdl:2027/hvd.32044030622997. JSTOR 2369153. Corrected, expanded, and annotated revision with an 1875 paper by B. Peirce and annotations by his son, C. S. Peirce, of the 1872 lithograph ed. Google Eprint and as an extract, D. Van Nostrand, 1882, Google Eprint. 31 mart 2021 tarixində orijinalından arxivləşdirilib.
• Peterson, Ivars (2001). Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics. Owl Books. ISBN 978-0-8050-7159-7.
• Popper, Karl R. (1995). "On knowledge". In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years. New York: Routledge. Bibcode:1992sbwl.book….. P. ISBN 978-0-415-13548-1.
• Riehm, Carl (August 2002). "The Early History of the Fields Medal" (PDF). Notices of the AMS. 49 (7): 778–82. 26 oktyabr 2006 tarixində orijinalından arxivləşdirilib (PDF).
• Sevryuk, Mikhail B. (January 2006). "Book Reviews" (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 43 (1): 101–09. doi:10.1090/S0273-0979-05-01069-4. 23 iyul 2006 tarixində orijinalından arxivləşdirilib (PDF).
• Waltershausen, Wolfgang Sartorius von (1965) [first published 1856]. Gauss zum Gedächtniss. Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend. ISBN 978-3-253-01702-5.

• Benson, Donald C. (2000). The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-513919-8.
• Davis, Philip J.; Hersh, Reuben (1999). The Mathematical Experience (Reprint ed.). Mariner Books. ISBN 978-0-395-92968-1.
• Courant, Richard; Robbins, Herbert (1996). What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods (2nd ed.). New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-510519-3.
• Einstein, Albert (1923). Sidelights on Relativity: I. Ether and relativity. II. Geometry and experience (translated by G. B. Jeffery, D. Sc., and W. Perrett, Ph. D). E. P. Dutton & Co., New York. Archived from the original on July 25, 2014. Retrieved September 23, 2012.
• Gullberg, Jan (1997). Mathematics: From the Birth of Numbers (1st ed.). W. W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-04002-9.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2000). Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers. – Sovet riyaziyyat ensiklopediyasının tərcümə edilmiş və genişləndirilmiş versiyası, on cilddə. Həm də kağız nüsxədə və CD-ROM-da və onlayn 3 iyul 2011 tarixində Wayback Machine tərəfindən arxivləşdirilib.
• Jourdain, Philip E. B. (2003). "The Nature of Mathematics". In James R. Newman (ed.). The World of Mathematics. Dover Publications. ISBN 978-0-486-43268-7.
• Maier, Annaliese (1982). Steven Sargent (ed.). At the Threshold of Exact Science: Selected Writings of Annaliese Maier on Late Medieval Natural Philosophy. Philadelphia: University of Pennsylvania Press.
• Pappas, Theoni (June 1989). The Joy Of Mathematics (Revised ed.). Wide World Publishing. ISBN 978-0-933174-65-8.