Poyntinq teoremi

Poynting nəzəriyyəsi bildirir ki, müəyyən bir məkanda enerji ötürülmə sürəti (həcmin vahidinə düşən) həmin bölgədəki yüklü hissəciklər üzərində görülən işin sürəti ilə, üstəgəl həmin bölgəni tərk edən enerji axınına bərabərdir.Riyazi olaraq: ${\displaystyle -{\frac {\partial u}{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }$  Burada

• ${\displaystyle -{\frac {\partial u}{\partial t}}}$  — həcmdə enerji sıxlığının dəyişmə sürətidir..
• ∇ ⋅ S—Poyntinq vektorunun S divergensiyası ilə verilən həcmdən enerji axınıdır.
• J ⋅ E— yüklə iş görən sahənin güc sıxlığıdır.

Divergensiya teoremindən istifadə edərək Poyntinq teoremini inteqral formada da yazmaq olar: ${\displaystyle -{\frac {d}{dt}}\int _{V}u~\mathrm {d} V=}$   ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$  ${\displaystyle \mathbf {S} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} +\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} V}$  burada,

• S—enerji axınıdır və Poynting vektoru ilə verilir.
• u—enerji sıxlığıdır (enerjinin vahid həcmdəki miqdarı).
• ${\displaystyle \partial V\!}$  —həcmin sərhədidir. Həcmin forması ixtiyari ola bilər, lakin sabit qalır (dəyişmir).

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} +\epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0,}$  burada

• ε₀ — vakuumun dielektrik sabiti (və ya vakuumun elektrik keçiriciliyi) və μ₀ — vakuumun maqnit keçiriciliyidir.
• ${\displaystyle \epsilon _{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}}$  —elektrik sahəsinin qurulmasını təmin edən reaktiv güc sıxlığıdır (elektrik sahəsinin enerjisinin zamanla necə dəyişdiyini göstərir),
• ${\displaystyle {\frac {\mathbf {B} }{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$  —maqnit sahəsinin qurulmasını təmin edən reaktiv güc sıxlığıdır (maqnit sahəsinin enerjisinin zamanla necə dəyişdiyini göstərir),
• ${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }$  — Lorenz qüvvəsinin yüklü daşıyıcılara təsiri nəticəsində sərf olunan elektrik gücünün sıxlığıdır (yəni elektrik sahəsi tərəfindən görülən real işin miqdarı).

Elektromaqnit sahəsinin sonsuz kiçik bir yüklü hissəciyə göstərdiyi işin görülmə sürəti (yəni işin törəməsi və ya dəyişmə sürəti) $${\displaystyle dq=\rho d^{3}x}$$  Lorenz qüvvəsi qanununa görə belə verilir. $${\displaystyle dP=d\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} =(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )dq\cdot \mathbf {v} =\mathbf {E} \cdot \rho \mathbf {v} d^{3}x+0=\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} d^{3}x}$$  (Vektorial hasilin tərifinə görə ${\displaystyle (\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot \mathbf {v} =0}$  ,çünki birinci vektorun istiqaməti həmişə ikinci vektora perpendikulyardır, yəni aralarındakı bucaq 90°-dir və skalyar hasil sıfırdır.) Burada, ρ—vahid həcmdəki elektrik yükü, J = ρv — cərəyan sıxlığıdır, v—diferensial yükün sürətidir. $${\displaystyle P=\int _{V}dP=\int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x}$$  Amperin dövrə qanununa əsasən $${\displaystyle \mathbf {J} =\nabla \times \mathbf {H} -{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$$ ^[3] Aşağıdakı kimi ifadə edək: $${\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x=\int _{V}\left[\mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )-\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right]~\mathrm {d} ^{3}x}$$  Vektor identifikasiyasından istifadə edərək:

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )=\ (\nabla {\times }\mathbf {E} )\cdot \mathbf {H} \,-\,\mathbf {E} \cdot (\nabla {\times }\mathbf {H} )}$ : $${\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x=-\int _{V}\left[\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )-\mathbf {H} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right]~\mathrm {d} ^{3}x}$$  Faradey qanununa əsasən $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$$  $${\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x=-\int _{V}\left[\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )+\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right]~\mathrm {d} ^{3}x}$$  Törəmənin davamı üçün aşağıdakı fərziyyələr götürülür:^[2]

1.Yüklər dispersiv olmayan mühitdə hərəkət edir (yəni, mühitin xüsusiyyətləri tezlikdən asılı deyil).

2.Ümumi elektromaqnit enerji sıxlığı, hətta zamanla dəyişən sahələr üçün belə, aşağıdakı kimi verilir: $${\displaystyle u={\frac {1}{2}}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} )}$$  bu gostərir ki,^[4] $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} )=2\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {D} }$$  və $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {H} \cdot \mathbf {B} )=2\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} }$$  və beləliklə: $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$$  Yerinə yazsaq, $${\displaystyle \int _{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} ~\mathrm {d} ^{3}x=-\int _{V}\left[{\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )\right]~\mathrm {d} ^{3}x}$$  Həcm ixtiyari olduğundan, bunu diferensial formada da ifadə etmək olar: $${\displaystyle -{\frac {\partial u}{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }$$  burada, ${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} }$  ifadəsi Poyntinq vektorudur.

Makroskopik mühitdə elektromaqnit effektləri orta ölçülü (makroskopik) sahələrlə təsvir olunur. Makroskopik mühitdə Poyntinq vektoru mikroskopik nəzəriyyə ilə öz-özünə müəyyən edilə bilər, elə bir şəkildə müəyyən edilə bilər ki, fəza üzrə orta hesablanmış mikroskopik Poyntinq vektoru makroskopik formalizmlə dəqiq proqnozlaşdırılsın. Bu nəticə aşağı itki həddində ciddi şəkildə etibarlıdır və makroskopik elektrodinamikada Poyntinq vektor formasının birmənalı olaraq müəyyən edilməsinə imkan verir.^[5][6]

Poyntinq teoreminin alternativ variantlarını əldə etmək mümkündür.^[7] Yuxarıdakı kimi E × H axını vektorunun əvəzinə eyni törəmə tərzinə riayət etmək mümkündür, lakin bunun əvəzinəE × B, Minkovski forması D × B və ya bəlkə də D × B seçin. Hər seçim yayılma mühitinin cavabını özünəməxsus şəkildə təmsil edir: Yuxarıdakı E × B forması cavabın yalnız elektrik cərəyanları hesabına baş verməsi xüsusiyyətinə malikdir. Digər iki forma (Abraham və Minkovski) mühitin qütbləşmə və maqnitləşmə reaksiyalarını təmsil etmək üçün elektrik və maqnit cərəyanlarının tamamlayıcı birləşmələrindən istifadə edir.^[7]

Teoremin əldə edilməsi tənliklə modelləşdirilmiş materialların xətti, izotrop, homogen və tezlikdən asılı olmayan həssaslıq xassələri toplusu ilə təsvir oluna biləcəyi fərziyyəsindən asılıdır. Dəyişiklikləri nəzərə almaq üçün Poyntinq teoreminin modifikasiyası Drude modelinə əsaslanan sadələşdirilmiş yaxınlaşmadan istifadə etməklə hesablana bilən materialda qeyri-Ohmik udma dərəcəsi üçün termini ehtiva edir^[8] $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\mathcal {U}}+\nabla \cdot \mathbf {S} +\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} _{\text{free}}+{\mathcal {R}}_{\dashv \int }=0}$$ 

Teoremin bu forması Antenna nəzəriyyəsindən faydalanır, burada tez-tez məkanda yayılan harmonik sahələri nəzərə almaq lazımdır. Bu halda, ${\displaystyle E(t)=Ee^{j\omega t}}$  and ${\displaystyle H(t)=He^{j\omega t}}$ . Onda aşağıdakı riyazi eynilik doğrudur:${\displaystyle {1 \over 2}\int _{\partial \Omega }E\times H^{*}\cdot d{\mathbf {a} }={j\omega \over 2}\int _{\Omega }(\varepsilon EE^{*}-\mu HH^{*})dv-{1 \over 2}\int _{\Omega }EJ^{*}dv,}$ . Burada ${\displaystyle J}$  cari sıxlıqdır.Qeyd edək ki, boş yerdə, ${\displaystyle \varepsilon }$  və ${\displaystyle \mu }$  realdır, beləliklə, yuxarıda göstərilən düsturun həqiqi hissəsini götürərək, orta radiasiya gücü faktını ifadə edir.