Poyntinq vektoru

Poyntinqin orijinal məqaləsində və əksər dərsliklərdə Poyntinq vektoru ${\displaystyle \mathbf {S} }$  kimi müəyyən edilir.^[4][5][6] $${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} ,}$$ 

• E— elektrik sahəsinin vektorudur;
• H—— maqnit sahəsinin köməkçi sahə vektoru və ya maqnit sahəsidir.^[7] Poynting vektoru adətən S və ya N ilə işarələnir.Poyntinq teoremi mahiyyətcə deyir ki, bir bölgəyə daxil olan elektromaqnit enerji ilə bölgədən çıxan elektromaqnit enerjisi arasındakı fərq həmin bölgədə çevrilən və ya yayılan, yəni fərqli enerji formasına (çox vaxt istilik) çevrilən enerjiyə bərabər olmalıdır. Poyntinq teoremi sadəcə olaraq enerjinin lokal saxlanmasının ifadəsidir.Poyntinq teoreminin xüsusi halı kimi davamlılıq tənliyini verir:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} =-{\frac {\partial u}{\partial t}}}$$ 

Müşayiət olunan diaqramda göstərildiyi kimi, silindrik koordinatlarda təhlil edilən koaksial kabel bölməsi vasitəsilə enerji ötürülməsi işi üçün nisbətən sadə bir həll tapa bilərik. Modelin simmetriyası o deməkdir ki, θ (dairəvi simmetriya) və ya Z-dən (kabel boyunca mövqe) asılılıq yoxdur. Modeli (və həllini) sadəcə olaraq, vaxtdan asılı olmayan sabit cərəyan dövrəsi kimi qəbul etmək olar, lakin bir anlıq (gərginlik və cərəyan dəyişilməz) və kabelin kifayət qədər qısa bir hissəsini (dalğa uzunluğundan çox qısa, beləliklə, bu kəmiyyətlər Z-dən asılı olmayan) nəzərə alsaq, aşağıdakı həll enerjisinin ötürülməsinə eyni dərəcədə uyğundur.Koaksial kabel, R1 radiusu olan daxili keçirici və daxili radiusu R2 olan bir xarici keçirici (R2-dən kənar qalınlığı sonrakı təhlilə təsir göstərmir) kimi müəyyən edilir. R1 və R2 arasında kabel nisbi keçiriciliyi εr olan ideal dielektrik materialdan ibarətdir və biz güman edirik ki, keçiricilər qeyri-maqnitdir (beləliklə, μ = μ0) və itkisizdir (ideal keçiricilər), bunların hamısı tipik vəziyyətlərdə real koaksial kabelə yaxşı yaxınlaşmadır.

Elektrikin əsas qanunlarına uyğun olaraq P = V · I ümumi güc axını gözləyirik. Bununla belə, Poynting vektorunu qiymətləndirərək, koaksial kabelin içərisindəki elektrik və maqnit sahələri baxımından güc axınını təyin edə bilərik. Elektrik sahəsi hər keçiricinin içərisində sıfırdır, lakin keçiricilər arasında ${\displaystyle R_{1}<r<R_{2}}$  göstərmək olar. Qauss üsulundandan istifadə etməklə aşağıdakı formanı əldə edərik: $${\displaystyle E_{r}(r)={\frac {W}{r}}}$$  W elektrik sahəsini ${\displaystyle r=R_{2}}$ -dan ${\displaystyle R_{1}}$ -a inteqrasiya etməklə qiymətləndirilə bilər. Bu zaman V gərginliyinin mənfi olması lazımdır: $${\displaystyle -V=\int _{R_{2}}^{R_{1}}{\frac {W}{r}}dr=-W\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right)}$$  Beləliklə, $${\displaystyle W={\frac {V}{\ln(R_{2}/R_{1})}}}$$  Keçiricilərin öz daxilində maqnit sahəsi sıfır ola bilər və ya olmaya da bilər, lakin bu, heç bir narahatlıq doğurmur, çünki elektrik sahəsinin sıfır olması səbəbindən bu bölgələrdə Poyntinq vektoru sıfırdır. Bütün koaksial kabeldən kənarda, maqnit sahəsi eyni şəkildə sıfırdır. R1-dən R2-ə qədər olan sahədə Amper qanunundan istifadə edərək, r radiusunda tapırıq: $${\displaystyle {\begin{aligned}I=\oint _{C}\mathbf {H} \cdot ds&=2\pi rH_{\theta }(r)\\H_{\theta }(r)&={\frac {I}{2\pi r}}\end{aligned}}}$$  Beləliklə, $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\text{tot}}&=\iint _{\mathbf {A} }S_{z}(r,\theta )\,dA=\int _{R_{2}}^{R_{1}}2\pi rdrS_{z}(r)\\&=\int _{R_{2}}^{R_{1}}{\frac {W\,I}{r}}dr=W\,I\,\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right).\end{aligned}}}$$  Nəticə olaraq, $${\displaystyle P_{\mathrm {tot} }=I\ln \left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right){\frac {V}{\ln(R_{2}/R_{1})}}=V\,I}$$  P = V · Inəticəsinin analitik şəkildə hesablana biləcəyi digər oxşar nümunələr bunlardır: Dekart koordinatlarından istifadə edən paralel lövhəli ötürmə xətti^[8] və bipolyar silindrik koordinatlardan istifadə edən iki naqilli ötürmə xətti.^[9]

Maksvell tənliklərinin "mikroskopik" versiyasında bu tərif elektrik sahəsi E və maqnit axınının sıxlığı B (məqalədə daha sonra təsvir olunur) baxımından təriflə əvəz edilməlidir.Poynting vektoru elektromaqnit enerjisi üçün enerji axını vektorunun xüsusi halını təmsil edir. Bununla belə, hər hansı bir enerji növünün kosmosda hərəkət istiqaməti, eləcə də sıxlığı var, buna görə də enerji axınının vektorları digər enerji növləri üçün də müəyyən edilə bilər, məsələn, mexaniki enerji üçün müəyyən edilə bilər. 1874-cü ildə Nikolay Umov tərəfindən kəşf edilmiş Umov-Poynting vektoru^[10] maye və elastik mühitlərdə enerji axınını tamamilə ümumiləşdirilmiş şəkildə təsvir edir.

Poyntinq vektoru elektromaqnit sahələrində enerjinin qorunması qanununu ilə əlaqəli olan Poyntinq teoremində görünür: $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J_{\mathrm {f} }} \cdot \mathbf {E} ,}$$  burada J_f sərbəst yüklərin cərəyan sıxlığıdır, u isə elektromaqnit enerjisinin sıxlığıdır.Xətti və dispersiya olmayan (nondispersive) materiallar üçün enerjinin sıxlığı belə təyin olunur: $${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} \right)\!,}$$  burada,

• E— elektrik sahəsi;
• D — elektrik yerdəyişmə sahəsi;
• B— maqnit axınının sıxlığı;
• H —maqnitləşdirici sahədir.^[11]

Sağ tərəfdəki birinci termin elektromaqnit enerjisinin kiçik həcmə axınını ifadə edir, ikinci termin isə sahənin sərbəst elektrik cərəyanları üzərində gördüyü işi çıxarır və bununla da elektromaqnit enerjisindən yayılma, istilik və s. kimi çıxır.Xətti, dispersiv olmayan və izotrop (sadəlik üçün) materiallar üçün aşağıdakı şəkildə yazıla bilər. $${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} ,}$$ , burada

• ε— mühitin elektrik keçiriciliy;
• μ— mühitin maqnit keçiriciliyi.^[11]

Bu hallarda ε və μ – real, skalyar və sabit qiymətlərdir; mövqe, istiqamət və tezlikdən asılı deyil.

• Becker, Richard. Electromagnetic Fields and Interactions (1st). Mineola, New York: Dover Publications. 1982. ISBN 978-0-486-64290-1.
• Edminister, Joseph; Nahvi, Mahmood. Electromagnetics (4th). New York: McGraw-Hill. 2013. ISBN 978-0-07-183149-9.