Metrik tenzor

Differensial həndəsədə metrik tenzor – səthə toxunan iki $v$ və $w$ vektorlarını qəbul edib bir həqiqi ədəd qaytaran funksiyaya deyilir. Bu tenzor, vektorların Evklid həndəsəsindəki skalyar hasili ümumiləşdirir. Skalyar hasil, iki vektor arasındakı məsafə və bucağı təyin edən əməliyyat olduğu üçün, metrik tenzor, bu əməliyyatı istənilən növ çoxobrazlı üzərindəki vektorlar üçün etməyə imkan verir.

Əgər istənilən sıfırdan fərqli $v$ vektoru üçün $g(v, v) > 0$ şərti ödənilirsə, o zaman metrik teznor müsbət-müəyyən kimi xarakterizə olunur. Metrik tenzoru müsbət-müəyyən olan çoxobrazlıya Riman çoxobrazlısı deyilir. Riman çoxobrazlısında iki nöqtəni birləşdirən ən qısa əyri, geodezik adlanır. Beləliklə, Riman çoxobrazlısında uzunluq anlayışı olduğuna görə, yəni istənilən $p$ və $q$ nöqtəsi üçün $p$ -dən $q$ -ya qədər məsafəni hesablayan $d(p, q)$ funksiyası mövcud olduğuna görə Riman çoxobrazlısı metrik fəza hesab olunur. Digər tərəfdən, metrik tenzora məsafə funksiyasının törəməsi kimi baxa bilərik: metrik tenzor çoxobrazlıdakı sonsuz kiçik məsafəni verir.

Metrik tenzorun koordinat bazisinə görə komponentləri simmetrik matris təşkil edir. Bu komponentlər koordinat sisteminin dəyişilməsi zamanı kovariant çevrilməyə məruz qalır. Ona görə də metrik tenzor kovariant simmetrik tenzor hesab olunur.

Ümumi Nisbilik Nəzəriyyəsində rolu

Metrik tenzor, Ümumi Nisbilik Nəzəriyyəsinin əsas tədqiqat obyektidir və çox vaxt qısaca metrika adlanır. Fəza-zaman riyazi olaraq 4-ölçülü hamar çoxobrazlı kimi təsvir olunur, metrika $g$ isə ikinci tərtib kovariant tenzor olub aşağıdakı xüsusiyyəylərə sahibdir:

Simmetrikdir: $g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu }$
Degenerasiya olmayandır: $\det g\not =0$
Siqnaturası (- + + +) şəklindədir.

Bu cür metrika ilə təyin olunan çoxobrazlı Lorens çoxobrazlısı adlanır. Lorens çoxobrazlısına ən sadə nümunə düz fəza-zamandır. Fəza-zamanda nöqtələr(hadisələr) arasındakı məsafə interval ilə təyin olunur. Fəza-zaman intervalı hadisələr arasındakı səbəb-nəticə əlaqələrini özündə əks etdirməklə yanaşı, bir hadisədən digərinə səyahət üçün nə qədər zaman sərf olunacağını təyin edir.

Metrika verildikdə fəza-zaman intervalı aşağıdakı kimi hesablanır:

$ds^{2}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }.$

Burada indekslər üzrə Eynşteyn cəmləmə qaydası nəzərdə tutulub, $dx^{\mu }$ və $dx^{\nu }$ sonsuz kiçik yerdəyişmə 4-vektorlarının komponentlərini,

$g_{\mu \nu }$ həmin komponentlərə uyğun gələn metrika komponentini,

$ds^{2}$ isə fəza-zaman intervalını ifadə edir.

Məsələn, düz fəza-zaman üçün intervalın hesablanmasına baxaq. Bu fəza-zamanda metrika çox vaxt $g$ əvəzinə $\eta$ ilə ifadə olunur və nöqtələri $(t,x,y,z)$ ilə verilən R⁴ koordinat sistemindəki komponentləri

$\eta ={\begin{pmatrix}-c^{2}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

matrisi ilə göstərilir. Belə halda fəza-zaman intervalının düsturu

$ds^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=-c^{2}dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\,$

formasını alır. Düz fəza-zamana çox vaxt Minkovski fəza-zamanı, metrikasına isə Minkovski metrikası deyilir. Minkovski fəza-zamanı əsasən Xüsusi Nisbilik Nəzəriyyəsinin predmeti kimi öyrənilir.