Determinant

Determinant — çoxluq bir matris ilə bağlı xüsusi düzülüş.

Bir A matrisin determinantı det(A) və ya det A şəklindədir. Determinant modul işarəsi tərkibində yazılır. 2 × 2 ölçülü matris halında determinant belə hesablanır:

{\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc.\end{aligned}}

Oxşar olaraq, 3 × 3 ölçülü A matrisinin determinantı:

{\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=a\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\\Box &e&f\\\Box &h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\d&\Box &f\\g&\Box &i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\d&e&\Box \\g&h&\Box \end{vmatrix}}&=a\,{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}\\&=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{aligned}}

Bu hesablamada 2 × 2 ölçülü hər bir matrisin determinantı A matrisinin kiçik xətti matrisi adlanır. Bu prosedur oxşar şəkildə n × n ölçülü istənilən matris üçün tətbiq edilə bilər.

Xassələri

Determinantın xassələri: Determinantda sətir və sütunların uyğun olaraq yerini dəyişsək, determinantın qiyməti dəyişməz.

Buradan belə nəticəyə gəlmək olar ki, determinantda sətir və sütunlar eyni hüquludur.

Determinantda iki sətrin (və yaxud sütunun) bir-birilə yerini dəyişsək determinantən ancaq işarəsi dəyişər.

İki sətri (və yaxud olan sütunu)eyni determinant sıfıra bərabərdir (Laplas teoreminə görə determinantda bir sətir (və ya sütun) elementlərinin ortaq vuruğu varsa onu determinant xaricinə çıxartmaq olar

Buradan belə nəticəyə gəlmək olar ki, bir sətri (və ya sütun) sıfır olan deterinant sıfıra bərabərdir.

Determinantın bir sətir elementlərini bir ədədə vurub başqa sətir elementləri ilə toplasaq determinantın qiyməti dəyişməz.

İki kvadrat matrislərinin hasili determinantı onların determinantları hasilinə bərabərdir.

$\det(I_{n})=1$ burada I_n n × n vahid matrisdir.
$\det(A^{\rm {T}})=\det(A),$ burada $A^{\rm {T}}$ , $A$ matrisinin tərsçarpazıdır (transpozisiya).
$\det(A^{-1})={\frac {1}{\det(A)}}=\det(A)^{-1}.$
Kvadrat eyniölçülü A və B matrisləri üçün,

\det(AB)=\det(A)\det(B).

$\det(cA)=c^{n}\det(A)$ n × n ölçülü A matrisi üçün.
Müsbət təyin edilən matrislər olan və eyni ölçüyə malik A, B, və C üçün, $\det(A+B+C)+\det(C)\geq \det(A+C)+\det(B+C)$ , $A,B,C\geq 0$ üçün $\det(A+B)\geq \det(A)+\det(B).$ nəticəsi ilə birlikdə^[1]
Əgər A üçbucaq matrisdirsə, yəni i > j yaxud i < j üçün a_i,j = 0, onda onun determinantı diaqonal dəyərlərin hasilinə bərabərdir:

\det(A)=a_{1,1}a_{2,2}\cdots a_{n,n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i,i}.

İstinadlar

↑ Paksoy; Turkmen; Zhang. "Inequalities of Generalized Matrix Functions via Tensor Products". Electronic Journal of Linear Algebra. 27. 4-1-2014. doi:10.13001/1081-3810.1622. ISSN 1081-3810.

[1] Paksoy; Turkmen; Zhang. "Inequalities of Generalized Matrix Functions via Tensor Products". Electronic Journal of Linear Algebra. 27. 4-1-2014. doi:10.13001/1081-3810.1622. ISSN 1081-3810.

[1]