Əslən rizəli ailədən olan Taner Savut futbola 12 yaşında "" klubunun aşağı yaş qruplarında başlamışdır. 1994-cü ildə "İzmirspor" klubunda ilk peşəkar futbol oyununa çıxmışdır. 1997-ci ildə "Fənərbaxça" klubuna transfer olmuş və klubla 30 oyun oynamışdır. Avrokuboklardakı yeganə oyununu 29 sentyabr 1997-ci ildə UEFA Kuboku çərçivəsində "Styaua"ya qarşı keçirmiş və komandası 2:1 hesabı ilə məğlub olmuşdur. Daha sonra "Göztəpə", "", "Sakaryaspor", "Alanyaspor" klublarında çıxış etmişdir. 7 sentyabr 2002-ci ildə "Sivasspor" səfərinə gedən "Sakaryaspor" avtobusunun qəzaya uğraması nəticəsində 6 nəfər ölmüş, lakin o, yaralı olaraq qurtulmuşdur. "" klubunda oynadıqdan sonra 2011-ci ildə futbolçu karyerasını başa vurmuşdur. Karyerası boyunca 500-ə yaxın rəsmi oyuna çıxmış, Türkiyə Super Liqasında 71 oyunda 1 qol vurmuşdur.

Futbolçu karyerası bitdikdən sonra 5 mövsüm "Sakaryaspor" klubunun, 2 mövsüm "" klubunun idman direktoru olmuş, 2022-ci ildə isə "" klubunun idman direktoru təyin olunmuşdur.

6 fevral 2023-cü ildə baş vermiş Türkiyə–Suriya zəlzələsi zamanı Hatayın Antakya ilçəsində bina dağıntıları altında qalaraq itkin düşmüşdür. Cansız bədəni yanlışlıqla başqa bir ailə tərəfindən Adanaya aparılmış, DNT testi ilə bədənin Savuta aid olduğu müəyyənləşdirilmişdir. Ölümü 21 fevralda açıqlanmışdır. 22 fevralda baş tutmuş dəfnetmə mərasimindən sonra İzmirin Karabağlar Paşaköprü qəbiristanlığında dəfn olunmuşdur.