Murad Aşurov 1941-ci ildə Ermənistan Sovet Sosialist Respublikasının Basarkeçər rayonunun Zod kəndində anadan olmuşdur. O, Xanlar pedaqoji məktəbində təhsil almışdır. 1960-cı ildə əmək fəaliyyətinə başlamışdır. O, Jdanov rayonunun Xələc kənd orta məktəbində müəllimlik etmişdir.

1962-ci ildə Azərbaycan Dövlət Universiteti yanında hazırlıq kursunu bitirərək Azərbaycan Dövlət İncəsənət İnstitutuna daxil olmuşdur. 1 il sonra qiyabi şöbəyə keçərək Xanlar rayonuna qayıtmışdır. 1968-ci ildə isə məzun olmuşdur. O, 1969-cu ildə Bakı Ali Partiya Məktəbinə təhsil almağa göndərilmişdir. Azərbaycan Kommunist Partiyası Xanlar Rayon Komitəsinin birinci katibi olduğu müddətdə Səməd Ağamalıoğlu adına Azərbaycan Kənd Təsərrüfatı Akademiyasında aqronomluq təhsili almışdır.

Murad Aşurov Xanlar rayonuna qayıtdıqdan sonra Xanlar Rayon Xalq Deputatları Soveti İcraiyyə Komitəsinin mədəniyyət şöbəsinin təlimatçısı olaraq çalışmışdır. 1965–1968-ci illərdə Xanlar Rayon Komsomol Komitəsində məktəbli gənclər şöbəsinin müdiri vəzifəsində çalışmışdır.

1968-ci ildə Azərbaycan Kommunist Partiyası Xanlar Rayon Komitəsinin təlimatçısı vəzifəsinə təyin olunmuşdur. O, 1969-cu ilədək bu vəzifədə çalışmışdır. Ali partiya təhsilini aldıqdan sonra o, 1971–1975-ci illərdə Azərbaycan Kommunist Partiyası Xanlar Rayon Komitəsinin təbliğat və təşviqat şöbəsinin müdiri, daha sonra isə Azərbaycan Kommunist Partiyası Xanlar Rayon Komitəsinin ikinci katibi vəzifəsində işləmişdir.

Murad Aşurov 1978-ci ildən 1985-ci ilədək Azərbaycan Kommunist Partiyası Xanlar Rayon Komitəsinin birinci katibi vəzifəsini daşımışdır. 1985-ci ildə Azərbaycan SSR Dövlət Üzümçülük və Şərabçılıq Komitəsinin sədri işləmiş, daha sonra Azərbaycan Kommunist Partiyası Yevlax Şəhər Komitəsinin birinci katibi vəzifəsinə seçilmişdir.

Müstəqillik dövründə Yevlax Şəhər İcra Hakimiyyətinin başçısı təyin olunmuşdur. Azərbaycan Prezidenti Əbülfəz Elçibəyin 30 sentyabr 1992-ci il tarixli 228 nömrəli fərmanı ilə bu vəzifədən azad edilmişdir.

Murad Aşurov Azərbaycan SSR Ali Sovetinin X çağırış və XII çağırış deputatı seçilmişdir.

XII çağırış ərzində Murad Aşurov Dövlət idarəetmə sisteminin təkmilləşdirilməsi ilə əlaqədar Azərbaycan Respublikasının Konstitusiyasına (Əsas Qanununa) dəyişikliklər və əlavələr haqqında Qanun layihəsinin işlənib tamamlanması üzrə Redaksiya komissiyasının, DQMV-də vəziyyəti normallaşdırmaq tədbirləri haqqında Azərbaycan Respublikası Ali Sovetinin qərar layihəsini hazırlamaq üçün Redaksiya komissiyasının, Qaçqınlar məsələsi ilə əlaqədar olaraq Azərbaycan Respublikası Ali Soveti komissiyasının üzvü seçilmişdir.

Murad Aşurov 10 yanvar 1991-ci ildə respublikanın partiya və sovet orqanlarında uzun illər səmərəli işlədiyinə görə Murad Məmməd oğlu Aşurov Azərbaycan Sovet Sosialist Respublikasının prezidenti Ayaz Mütəllibovun 131 nömrəli fərmanı ilə Azərbaycan SSR-in Fəxri fərmanı ilə təltif olunmuşdur.

O, həmçinin "Oktyabr inqilabı" və "Şərəf nişanı" ordenləri və SSRİ medalları ilə də təltif olunmuşdur.