Məmmədcəfər bəy Bakıxanovun və Qızxanım xanımın övladı idi. Hənifə bəy və Haşım bəy adlı qardaşları, Bəyim xanım, Bala xanım, Səlmə xanım və Gülsüm xanım adlı bacıları vardı. Həmçinin Mirzə Fərəc Rzayevin xalasıoğlu idi.

Eldar İsmayılovun araşdırmasına görə 1872-ci il martın 30-da Bakı Bəy Komissiyasına verilən ərizədə onun 10 yaşı göstərilirdi. 1890-cı illərdə Məmmədrza bəy ticarətlə məşğul olurdu: buz satır, buğda, qoyun və s. alır, buzlaq, çayxana kimi mülkləri var idi.

Adı 1895-ci il noyabrın 15-də Bakı şəhərində törədilmiş bir qətlin istintaqı zamanı hallanmışdır. Müstəntiq S. D. Staroselski, Məmməd Rza bəyi qatillərə rüşvət verməkdə günahlandırılaraq 1897-ci il fevralın 27-də Bakı rayon məhkəməsi tərəfindən müddətsiz ağır işlərə sürgünə, yəni ömürlük məhkum etmişdir. Tiflis Ədliyyə Məhkəməsinə apellyasiya şikayəti verdikdən sonra Rusiyanın tanınmış hüquqşünası Fyodor Plevako tərəfindən müdafiə edilmişdir. 1897-ci il sentyabrın 27–28-də nəhayət Tiflis Ədliyyə Məhkəməsinin səfər iclasında bu işə baxılarkən Məmmədrza bəy Bakıxanova bəraət verildi, bundan sonra o, dərhal həbsdən azad edildi. 1905–1912-ci illərdə ailəsi ilə birlikdə İranın Rəşt şəhərində yaşayıb.

Məmmədrza bəy Bakıxanov Bakıda vəfat etmiş və Çəmbərəkənd qəbiristanlığında dəfn edilmişdir; 1939-cu ildə Çəmbərəkəndin sökülməsi zamanı onun qalıqları Maştağa qəbiristanlığında yenidən dəfn edildi.

Məmmədrza bəy Bakıxanov Mələk xanım Aşumova ilə evli idi (təq. 1874 — 1920). Övladları:

• Məmməd Bakıxanov (1890–1957)
• Əhməd Bakıxanov (1892–1973)
• Tacı Bakıxanova-Əliyeva (1908–1958)
• Haşım Bakıxanov (1911–1989)

Məmmədrza bəy xalq musiqisinin və muğamların böyük həvəskarı idi. Rəştdə yaşayarkən təbrizli Əbülhəsən xan İqbali Azər ilə əlaqə yaratmış, övladlarını onun yanında şagird kimi qoymuşdur.