Laplas tənliyi - Haqqinda Melumat

Laplas tənliyi riyaziyyatda və fizikada ikitərtibli xüsusi törəməli diferensial tənlikdir. Xüsusiyyətləri ilk dəfə Pyer Simon Laplas tərəfindən tətqiq edildiyinə görə onun adını daşıyır. Tənliyin yazılışı aşağıdaki kimidir:

\nabla ^{2}\!f=0\qquad {\mbox{və ya}}\qquad \Delta f=0,

Burada $\Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}$ Laplas operatoru, $\nabla \cdot$ divergensiya operatoru, $\nabla$ qradiyent operatoru və $f(x,y,z)$ isə iki dəfə diferensiallana bilən həqiqi qiymətli funksiyadır. Belə ki, Laplas operatoru skalyar bir funksiyanı başqa skalyar funksiyaya inkas etdirir. Sağ tərəfdə $h(x,y,z)$ funksiyası təyin olunarsa, onda Laplas tənliyi aşağıdaki kimi verilir:

\Delta f=h.

Buna , Laplas tənliyinin ümumiləşdirilməsi deyilir. Laplas və Poisson tənlikləri ən sadə nümunələridir. Laplas tənliyi, həmçiin xüsusi bir haldır. Laplas tənliyinin həllərinin ümumi nəzəriyyəsi olaraq bilinir. Laplas tənliyinin həlli fizikanın bir çox sahələrində, xüsusən elektrostatikada, qravitasiya və maye dinamikasında mühüm əhəmiyyət daşıyan . İstilik keçiriciliyinin öyrənilməsində Laplas tənliyi sabit vəziyyətli istilik tənliyidir. Ümumiyyətlə, Laplas tənliyi tarazlıq vəziyyətlərini və ya zamandan açıq şəkildə asılı olmayan vəziyyətləri təsvir edir.

Müxtəlif koordinat sistemlərində formaları

Karteziyan koordinant sistemində,

\nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.

,

\nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.

,

\nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.

Daha ümumi olaraq, ,

\nabla ^{2}f={\frac {\partial }{\partial \xi ^{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial \xi ^{k}}}g^{kj}\right)+{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}g^{jm}\Gamma _{mn}^{n}=0,

və ya

\nabla ^{2}f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\!\left({\sqrt {|g|}}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}\right)=0,\qquad (g=\det\{g_{ij}\}).

İstinadlar

Stewart, James. 2022-06-10 at the Wayback Machine. 7th ed., Brooks/Cole, Cengage Learning, 2012. Chapter 14: Partial Derivatives. p. 908. ISBN 978-0-538-49790-9.
Zill, Dennis G, and Michael R Cullen. Differential Equations with Boundary-Value Problems. 8th edition / ed., Brooks/Cole, Cengage Learning, 2013. Chapter 12: Boundary-value Problems in Rectangular Coordinates. p. 462. ISBN 978-1-111-82706-9.
↑ Griffiths, David J. 2022-06-10 at the Wayback Machine. 4th ed., Pearson, 2013. Inner front cover. ISBN 978-1-108-42041-9.

Xarici keçidlər

at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Example initial-boundary value problems using Laplace's equation from exampleproblems.com.
Weisstein, Eric W. (ing.) Wolfram saytında.

[1] Stewart, James. 2022-06-10 at the Wayback Machine. 7th ed., Brooks/Cole, Cengage Learning, 2012. Chapter 14: Partial Derivatives. p. 908. ISBN 978-0-538-49790-9.

[2] Zill, Dennis G, and Michael R Cullen. Differential Equations with Boundary-Value Problems. 8th edition / ed., Brooks/Cole, Cengage Learning, 2013. Chapter 12: Boundary-value Problems in Rectangular Coordinates. p. 462. ISBN 978-1-111-82706-9.

[Griffiths-3] Griffiths, David J. 2022-06-10 at the Wayback Machine. 4th ed., Pearson, 2013. Inner front cover. ISBN 978-1-108-42041-9.