Giorgi Meşvildişvilinin beynəlxalq turnirlərdə debütü 2012-ci ilin 4-10 sentyabrda Tailandın Pattaya şəhərində baş tutan gənclər arasında Dünya Çempionatı oldu. Həmin turnirdə Meşvildişvili uğursuz çıxış etdi və turniri 22 güləşçi sırasında 14-cü pillədə başa vurdu. Həmin il o, həm də Ermənistanın Vanadzor şəhərində 1988-ci il Seul Olimpiadasının gümüş medalçısı olmuş Stepan Sargsyanın şərəfinə baş tutan beynəxalq turnirin bürünc medalına sahib oldu.

2013-cü ildə Giorgi Meşvildişvili cəmi bir beynəlxalq turnirdə — 6-17 iyulda Rusiya Federasiyasının Kazan şəhərində baş tutan XXVII Universiada Oyunlarında mübarizə apardı. Universiadanın təsnifat mərhələsində Meşvildişvili Polşa nümayəndəsi Radoslav Baran üzərində birinci hissədəcə vaxtından əvvəl 8:0 hesabı ilə qələbə qazandı və turnirin 1/8 final mərhələsinə adladı. Bu mərhələdə onun rəqibi ABŞ güləşçisi Tayrel Forçun oldu. Bu görüşdə Meşvildişvili rəqibinə 0:2 (0:6, 0:2) hesabı ilə məğlub oldu. Rəqib 1/4 final mərhələsində məğlub olduğu üçün Meşvildişvili bürünc medal uğrunda təsəlliverici görüşlərə qatılmaq şansını da itirdi və Universiada Oyunlarını 8-ci pillədə başa vurdu.

2013-cü il ərzində Gürcüstanı Avropa və Dünya Çempionatlarında 18 yaşlı Qeno Petriaşvili təmsil etdi. Petriaşvili sərbəst güləş üzrə Gürcüstan yığmasında Meşvildişvilinin əsas rəqibi hesab olunurdu. Gənc Qeno Petriaşvili həmin il Avropa və Dünya Çempionatlarını bürünc medallarla başa vurdu və məşqçilərin etimadını doğrultdu.

Giorgi Meşvildişvilinin 2014-cü ildə birinci turniri 8-10 fevralda Fransanın Paris şəhərində baş tutan FILA Qızıl Qran-Pri beynəlxalq turniri oldu. Cəmi altı güləşçinin mübarizə apardığı və güclü rəqiblərin olmadığı turnirdə Meşvildişvili yarım-final mərhələsində Belçika nümayəndəsi Murad İstapayev üzərində birinci hissədəcə vaxtından əvvəl 10:0 hesabı ilə qələbə qazandı və final görüşünə vəsiqə qazandı. Həlledici görüşdə isə o, bir il əvvəl Universiada Oyunlarında məğlub olduğu ABŞ güləşçisi Tayrel Forçun ilə üz-üzə gəldi. Gərgin idman mübarizəsi şəraitində baş tutan görüşdə Meşvildişvili rəqibinə 2:0 (4:2, 3:0) hesabı ilə qalib gəldi və FILA Qızıl Qran-Pri beynəlxalq turnirinin qalibi oldu.

Giorgi Meşvildişvili 2021-ci ilin sonlarında Azərbaycan Güləş Federasiyası (AGF) tərəfindən sərbəst güləş üzrə Azərbaycan Çempionatına dəvət edildi. Həmin turnirin final görüşünə qədər bütün rəqiblərinə qalib gələn Meşvildişvili həlledici görüşdə də Rahid Həmidlidən üstün oldu və Azərbaycan Çempionatının qızıl medalına sahib oldu. Həmin il sərbəst güləş üzrə Azərbaycan yığmasının lideri, Dünya və Avropa Çempionatlarında yeddi dəfə medallara sahib olmuş Camaləddin Məhəmmədov idmanla vidalaşdı və buna görə də sərbəst güləş üzrə Azərbaycan yığmasının məşqçiləri yeni güləşçi axtarışda idilər. Ümumi nəticədə Azərbaycan Güləş Federasiyası Giorgi Meşvildişvili Azərbaycan yığmasının heyətinə dəvət etdi. Həmin il olimpiadanın finalçısı olan rəqabətdə məğlub olduğunu anlayan Giorgi Meşvildişvili bu dəvəti qəbul etdi. Amma Azərbaycan və Gürcüstanın güləş federasiyaları arasında yaşanan hüquqi prosedurların yubanması nəticəsində Meşvildişvili 2023-ci ildən Azərbaycan bayrağı altında beynəlxalq turnirlərdə mübarizə aparmağa başladı.

Giorgi Meşvildişvilinin sərbəst güləş üzrə Azərbaycan yığmasının heyətində birinci turniri 1-5 fevralda Xorvatiyanın Zaqreb şəhərində baş tutan Zagreb Open beynəlxalq turniri oldu. Turnirin 1/8 final mərhələsində onun rəqibi Polşa nümayəndəsi Robert Baran idi. Həmin görüşdə Meşvildişvili rəqibi üzərində 7:0 hesabı ilə inamlı qələbə qazandı və 1/4 final mərhələsinə adladı. Bu mərhələdə isə o, ABŞ güləşçisi Hayden Zillmer ilə üz-üzə gəldi. Gərgin idman mübarizəsi şəraitində baş tutan görüşdə Meşvildişvili rəqibinə 5:4 hesabı ilə qalib gəldi və turnirin yarım-final mərhələsinə adladı. Finala gedən yolda onun rəqibi Bolqarıstan nümayəndəsi Georgi İvanov oldu. Bu görüşdə Meşvildişvili rəqibi üzərində "tuş"la inamlı qələbə qazandı (14:2) və turnirin final görüşünə vəsiqə qazandı. Həlledici görüşdə onun rəqibi İran güləşçisi Əmir Hüseyn Zari oldu. Amma Giorgi Meşvildişvili yarım-final mərhələsində zədə aldığına görə həmin görüşdə çıxış edə bilmədi və bununla da Zagreb Open beynəlxalq turnirini gümüş medalla başa vurdu.

Meşvildişvilinin növbəti turniri 2-5 martda Bolqarıstanın Sofiya şəhərində baş tutan D. Kolov & N. Petrov Turniri oldu. Təsnifat mərhələsindən azad olan Meşvildişvili 1/4 final mərhələsində Azərbaycan nümayəndəsi Rahid Həmidli ilə üz-üzə gəldi. Həmin görüşdə Meşvildişvili rəqibi üzərində vaxtından əvvəl 10:0 hesabı ilə inamlı qələbə qazandı və turnirin yarım-final mərhələsinə adladı. Finala gedən yolda isə onun rəqibi ABŞ güləşçisi Ti Valz oldu. Bu görüşdə də Meşvildişvili rəqibi üzərində vaxtından əvvəl 11:0 hesabı ilə inamlı qələbə qazandı və turnirin final görüşünə vəsiqə qazandı. Həlledici görüşdə o, İran nümayəndəsi Mustafa Təqani ilə üz-üzə gəldi. Final görüşündə rəqibinə 7:2 hesabı ilə qalib gələn Giorgi Meşvildişvili D. Kolov & N. Petrov Turnirinin qalibi oldu.

Giorgi Meşvildişvili 2014-cü ildə Rusiyada Dmitri Korinin xatirəsinə həsr olunnan beynəlxalq turnirin qalibi oldu.

Giorgi Meşvildişvili 2015-ci ildə Polşada baş tutan U23 Avropa Çempionatının gümüş medalına sahib olsa da, il ərzində üç beynəlxalq turniri medalsız başa vurdu.

2016-cı ildə Ermənistanda baş tutan Stepan Sarqsyanın xatirəsinə həsr olunan beynəlxalq turnirinin bürünc medalına sahib olan Giorgi Meşvildişvili, 2017–2018-ci illərdə də nüfuzlu beynəlxalq turnirlərdə, o cümlədən Dünya və Avropa Çempionatlarında mübarizə aparmadı. Həmin illərdə Gürcüstan yığmasının lideri idi.

Apreldə isə Giorgi Meşvildişvili Avropa Çempionatlarında debüt elədi. Zaqreb şəhərində (Xorvatiya) baş tutan turnirin bürünc medal uğrunda görüşündə İtaliya nümayəndəsi Abraham Konyedoya 8:4 hesabı ilə qalib gələn Giorgi Meşvildişvili Avropa Çempionatının bürünc medalına sahib oldu. İyulda Polşada Poland Open beynəlxalq turnirinin gümüş medalına sahib olan Giorgi Meşvildişvili sentyabrda Belqrad şəhərində baş tutan Dünya Çempionatını 12-ci pillədə başa vurdu.

Giorgi Meşvildişvili 2024-cü ilin fevralında Rumıniyanın Buxarest şəhərində Avropa Çempionatını bürünc medalla başa vurdu. Apreldə isə o, Avropa Olimpiya Təsnifat Turnirinin nəticələrinə əsasən olimpiya lisenziyasına sahib oldu.

•   3-cü dərəcəli "Vətənə xidmətə görə" ordeni — Azərbaycan Prezidenti İlham Əliyevin 13 avqust 2024-cü il tarixli Sərəncamına əsasən XXXIII Yay Olimpiya Oyunlarında qazandığı nailiyyətlərə və Azərbaycan idmanında xidmətlərinə görə Meşvildişvili Giorgi Kaxa oğlu 3-cü dərəcəli "Vətənə xidmətə görə" ordeni ilə təltif edildi.

• Azərbaycan 2024 Yay Olimpiya Oyunlarında