Cavid Çələbiyev 2013-cü ilin iyulunda Rusiyanın Kazan şəhərində baş tutan Universiada Oyunlarını beşinci pillədə başa vurdu. Daha sonra isə Cavid Çələbiyev Qazaxıstanın Almatı şəhərində baş tutan Dünya Çempionatında mübarizə apardı. Cavid Çələbiyev turnirin 1/32 final mərhələsində Tacikistan nümayəndəsi Araz Avzalşoyeva (2:1), 1/16 final mərhələsində isə son olimpiadanın finalçısı olan Monqolustan nümayəndəsi Tugstsogt Nyambayara (2:1) qalib gəldi və Dünya Çempionatının 1/8 final mərhələsinə adladı. Bu mərhələdə onun rəqibi Keniya nümayəndəsi Benson Giçaru oldu. Gərgin idman mübarizəsi şəraitində baş tutan görüşdə Cavid Çələbiyev rəqibi üzərində qələbə qazandı (2:1) və turnirin 1/4 final mərhələsinə adladı. Bu mərhələdə onun rəqibi Hindistan nümayəndəsi Şiva Tapa oldu. Bu görüşdə də Cavid Çələbiyev rəqəbinə qalib gəldi (3:0) və turnirin yarım-final mərhələsinə adladı. Finala gedən yolda isə onun Qazaxıstan nümayəndəsi Kayrat Yerəliyev oldu. Gərgin idman mübarizəsi şəraitində baş tutan görüşdə Cavid Çələbiyev rəqibi üzərində qələbə qazandı (2:1) və Dünya Çempionatının final görüşünə vəsiqə qazandı. Həlledici görüşdə onun rəqibi Rusiya nümayəndəsi Vladimir Nihitin oldu. Bu görüşdə Cavid Çələbiyev rəqibinə qalib gəldi (3:0) və Dünya Çempionatının qızıl medalına sahib oldu. Bu 21 yaşlı Cavid Çələbiyevin nüfuzlu beynəlxalq turnirlərdə birinci qələbəsi oldu.

2015-ci ildə Birinci Avropa Oyunlarında və Dünya Çempionatında Azərbaycanı son Dünya çempionu Cavid Çələbiyevin əvəzinə gənc Tayfur Əliyev təmsil elədi. Tayfur Əliyevin olimpiya lisenziyasına sahib ola bilməməsindən sonra məşqçilər 2016-cı ildə Cavid Çələbiyevə etimad göstərdi. Cavid Çələbiyev 2016-cı ilin aprelində Samsun şəhərində baş tutan Avropa Olimpiya Təsnifat Turnirində mübarizə apardı və bütün rəqibləri üzərində qələbə qazanaraq həm turnirin qalibi oldu, həm də olimpiya lisenziyasına sahib oldu. Bununla da Cavid Çələbiyev Azərbaycanı avqustda Braziliyanın Rio-de-Janeyro şəhərində baş tutan XXXI Yay Olimpiya Oyunlarında təmsil elədi. -56 Kq. turnirində çıxış edən Cavid Çələbiyev olimpiadanın 1/16 final mərhələsində Qazaxıstan nümayəndəsi Kayrat Yerəliyev oldu. Görüşün birinci raundunda Cavid Çələbiyev qalib gəlsə də, növbəti raundlarda rəqibinə məğlub oldu. Nəticədə Cavid Çələbiyev görüşü 0:3 hesabı ilə məğlub başa vurdu və Rio-de-Janeyro Olimpiadasında mübarizəsini dayandırdı.

Olimpiadadan sonra Cavid Çələbiyev 2017-ci ilin mayında Azərbaycanda baş tutan IV İslam Həmrəyliyi Oyunlarının qalibi oldu.

Həmin ilin iyununda isə Cavid Çələbiyev Avropa Çempionatında mübarizə apardı. Cavid Çələbiyev turnirin 1/16 final mərhələsində Litva nümayəndəsi Edgaras Surdelisa qalib gəlsə də (4:1), 1/8 final mərhələsində Fransa nümayəndəsi Sofian Oumihaya gərgin idman mübarizəsi şəraitində baş tutan görüşdə məğlub oldu (2:3) və Avropa Çempionatında mübarizəsini başa vurdu.

2018-ci ildə Dünya və Avropa Çempionatları baş tutmadı. Cavid Çələbiyevin növbəti turniri 2019-cu ilin iyununda Belarusda baş tutan II Avropa Oyunlarında mübarizə apardı. Cavid Çələbiyev turnirin 1/16 final mərhələsində Bosniya və Herseqovina nümayəndəsi Nihola İvhoviça (5:0), 1/8 final mərhələsində isə Moldova nümayəndəsi Dorin Busçaya (5:0) qalib gəldi və Avropa Oyunlarının 1/4 final mərhələsinə adladı. Bu mərhələdə onun rəqibi Gürcüstan nümayəndəsi Otar Eranosyan ilə üz-üzə gəldi. Gərgin idman mübarizəsi şəraitində baş tutan görüşdə Cavid Çələbiyev rəqibinə 2:3 hesabı ilə məğlub oldu və medalın bir addımlığında mübarizəni dayandıraraq turniri beşinci pillədə başa vurdu.

2020-ci ilin martında isə Cavid Çələbiyev London şəhərində (Birləşmiş Krallıq) baş tutan Avropa Olimpiya Təsnifat Turnirində mübarizə apardı. Dünyanı cənginə alan COVID-19 pandemiyası səbəbilə turnir nəticələri saxlanılmaqla 2021-ci ilin aprelinə Paris şəhərinə (Fransa) təxirə salındı. Nəticədə Cavid Çələbiyev turniri beşinci pillədə başa vuraraq olimpiya lisenziyasına sahib oldu və 2021-ci ilin avqustunda Azərbaycanı XXXII Yay Olimpiya Oyunlarında təmsil elədi. Olimpiadanın 1/16 final mərhələsində onun rəqibi Ukrayna nümayəndəsi Yaroslav Xartsiz oldu. Həmin görüşdə Cavid Çələbiyev rəqibinə 5:0 hesabı ilə qalib gəldi və turnirin 1/8 final mərhələsinə adladı. İyulun 31-də baş tutan 1/8 final mərhələsində isə Cavid Çələbiyev Ermənistan nümayəndəsi Ovanes Baçov ilə üz-üzə gəldi. Gərgin idman mübarizəsi şəraitində baş tutan görüşdə Cavid Çələbiyev rəqibinə 1:4 hesabı ilə məğlub oldu və turnirdə mübarizəsini dayandırdı. Cavid Çələbiyev görüşdən sonra müsahibəsində "referilərin qərarını ədalətsiz" adlandırdı.

Azərbaycan Prezidenti İlham Əliyevin 30.12.2022-ci il tarixli 3695 nömrəli Sərəncamına əsasən Azərbaycan idmanında xidmətlərinə görə Çələbiyev Cavid Namiq oğlu "Tərəqqi" medalı ilə təltif edildi.