Balababa Hüseynağa oğlu Rzayev 10 iyun 1957-ci ildə Bakı şəhəri Zirə qəsəbəsində fəhlə ailəsində anadan olub.

1964–1974-cü illərdə Bakı şəhəri 120 №-li orta məktəbə daxil olub və 168 №-li orta məktəbi bitirərək 1974-cü ildə M. Əzizbəyov adına Azərbaycan Neft və Kimya İnstitutunun energetika fakültəsinin əyani şöbəsinə qəbul olunub. 1979-cu ildə bu institutu bitirərək "Elektrik şəbəkə və sistemləri" ixtisası üzrə mühəndis-elektrik ixtisasına yiyələnib.

Ailəlidir, iki övladı — bir qızı, bir oğlu, dörd nəvəsi var.

4 sentyabr 1979-cu ildən "Melorasiya və Su Təsərrüfatı" Nazirliyinin "Abşeron Mexaniki Suvarma" İdarəsinə mühəndis-elektrik vəzifəsinə təyin edilib. 17 dekabr 1979-cu ildən "Azərsənayeelektrikquraşdırma" trestinin 1 №-li Bakı Elektrik Quraşdırma İdarəsinə mühəndis-elektrik, usta (10.1980–02.1981), iş icraçısı (02.1981–04.1985), sahə rəisi (02.1985–07.1986), baş mühəndis (07.1986–04.1988), idarə rəisi (04.1988–05.1998) vəzifələrində işləyib. 1998-ci ildə bu müəssisə Səhmdar Cəmiyyətə — "Bakıelektro" ATSC-yə çevrildikdən sonra 10 avqust 2006-cı il tarixinədək İdarə Heyətinin sədri vəzifəsində çalışıb.

10 avqust 2006-cı il tarixdə "Bakıelektrikşəbəkə" ASC İdarə Heyəti sədri vəzifəsinə təyin olunub və B. Rzayevin rəhbərliyi dövründə Bakı şəhərinin elektrik şəbəkəsi müasir texnalogiyalar tətbiq olunmaqla beynəlxalq standartlara uyğun tamamilə yenidən qurulub.

Azərbaycan Prezidentinin 10 fevral 2015-ci il tarixli 1046 saylı sərəncamına əsasən Azərişıq Açıq Səhmdar Cəmiyyətinin sədri vəzifəsinə təyin edilib.

2015–2018-ci illərdə "Azərişıq" ASC-nin sədri olduğu müddətdə ölkə Prezidentinin qarşıya qoyduğu strateji xəttə uyğun olaraq respublikanın regionlarında 100-dən artıq yarımstansiyanın tikilib yenidən qurulmasına, 1000-dən artıq qəsəbə və kəndlərin elektrik şəbəkəsinin yenilənməsinə nail olunub. 2015-ci ildə "Azərişıq" ASC təhvil alınarkən texniki itkilər 15–20 faiz olduğu halda, 2018-ci ildə 8–10 faizə endirilib, "Azərişıq" ASC-nin bütün xidmətləri "ASAN Kommunal və ASAN Xidmət" mərkəzlərinə transfer olunub.

Azərbaycan Respublikası Prezidentinin 4 sentyabr 2018-ci il tarixli sərəncamı ilə "Azərişıq" Açıq Səhmdar Cəmiyyətinin sədri vəzifəsindən azad edilib.

Azərbaycan Respublikası Prezidentinin 4 sentyabr 2018-ci il tarixli sərəncamı ilə B. Rzayev "Azərenerji" ASC-nin prezidenti təyin edilib.

• Ölkə başçısının 10 avqust 2016-cı il tarixli sərəncamı ilə "Əməkdar mühəndis" adına layiq görülüb,
• 2017-ci ilin yanvar ayında MDB üzv ölkələri Elektroenergetika Şurasının Qərarı ilə "MDB-nin Əməkdar energetiki" fəxri adına layiq görülmüşdür.
• Azərbaycan Prezidentinin 9 iyun 2017-ci il tarixli sərəncamı ilə ölkənin energetika sisteminin təkmilləşdirilməsində səmərəli fəaliyyətinə görə 3-cü dərəcəli "Vətənə xidmətə görə" orden ilə təltif olunub.