Azər Tağıyev 25 aprel 1948-ci ildə Şəki şəhərində anadan olmuşdur. Orta məktəbi bitirdikdən sonra o, 1967–1973-cü illərdə Azərbaycan Dövlət Universitetinin hüquq fakültəsində ali təhsil almışdır.

1974-cü ildə Azərbaycan SSR Vəkillər Kollegiyası üzvlüyünə qəbul olunaraq Bakı şəhəri 14 saylı hüquq məsləhətxanasında vəkillik fəaliyyətinə başlamışdır. 1980-ci illərin əvvəlində Vəkillər Kollegiyası Rəyasət Heyətinin üzvü, 1980-ci illərin sonunda Rəyasət Heyətinin sədr müavini, 1995-ci ildə isə Vəkillər Kollegiyası Rəyasət Heyətinin sədri seçilmişdir.

Azər Tağıyev uzun sürən xəstəlikdən sonra, 30 aprel 2018-ci ildə vəfat etmişdir.

2004-cü il 3–4 noyabr tarixində Bakı şəhərində Təsis Yığıncağı keçirilərək, Azərbaycan Respublikasının yeni Vəkillər Kollegiyası yaradılmış və o, 7 dekabr 2017-ci ilədək Kollegiyaya rəhbərlik etmişdir.

26 iyun 1998-ci ildə Mərkəzi Seçki Komissiyasına üzv təyin edilmiş və vəfat edənə qədər Komissiyanın işində fəal iştirak etmişdir.

Azərbaycan Respublikasının Prezidentinin 24 aprel 2008-ci il tarixli Sərəncamı ilə Azər Tağıyevə əməkdar hüquqşünas fəxri adı verilib. O, Azərbaycan Respublikası Vəkillər Kollegiyasının "Fəxri fərmanı" və "Fəxri diplomu" ilə təltif edilib, ona Azərbaycan Respublikası Vəkillər Kollegiyasının "Fəxri Hüquq Doktoru" və "Fəxri vəkil" adları verilib, onun adı Kollegiyanın "Vəkillərin Şərəf Kitabı"na daxil edilib.