Allahverən Babayev 1961-ci il yanvar ayının 20-də Lerik rayonunun Monidigah kəndində anadan olmuşdur. 1978-ci ildə Monidigah kənd orta məktəbini bitirmişdir. 1980–1982-ci illərdə Moskva şəhərində hərbi xidmətdə olmuşdur. 1982–1983-cü illərdə Biləsuvar rayonunun Əskərabad kənd kitabxanasının müdiri vəzifəsində işləmişdir. 1983–1987-ci illər ərzində Azərbaycan Dövlət Mədəniyyət və İncəsənət Universitetinin "Dram və kino aktyorluğu" fakültəsində SSRİ xalq artisti, professor Mehdi Məmmədovun rəhbərlik etdiyi kursda oxumuşdur. 1987-ci ildə universiteti bitirib, təyinatla Lənkəran Dövlət Dram Teatrının aktyor heyətinə qəbul olunmuşdur. Həmin vaxtdan indiyə qədər bu sənət ocağının səhnəsində 100-ə qədər müxtəlif xarakterli rol oynamışdır. 1994-cü ildən Azərbaycan Teatr Xadimləri İttifaqının və 2007-ci ildən Yeni Azərbaycan Partiyasının üzvüdür.

Ailəlidir, 1 qızı, 1 oğlu var.

Azərbaycan klassiklərinin əsərlərində oynadığı rollar: Xəlil yüzbaşı ("Hacı Qara", Mirzə Fətəli Axundzadə), Xan ("Lənkəran xanın vəziri", Mirzə Fətəli Axundzadə), Hampa və İkinci dost, Məşədi Ramazan, Abbas bəy, Əmrah ("Xortdanın cəhənnəm məktubları", "Millət dostları", "Ağa Məhəmməd şah Qacar" və "Pəri cadu", Əbdürrəhim bəy Haqverdiyev), İmran ("Tamahkar", Süleyman Sani Axundov), Məşədi Oruc və Kərbəlayı Cəfər, Əsəd və Qazı ("Danabaş kəndinin əhvalatları" və "Danabaş kəndinin məktəbi", Cəlil Məmmədquluzadə), Qəzənfər xan ("Qoç Polad", Aqbdulla Şaiq), Şeyda ("Toy", Sabit Rəhman), Heydər xan ("Nadir şah", Nəriman Nərimanov), Qasım ("Əlibaba və qırx quldur", nağıl əsasında işləyəni Loğman Kərimov), Baba ("Dəcəl keçi", Pərvin Nurəliyeva), Sahə müvəkkili ("Ay lolo və ya moskvalı gəlin", Hafiz Mirzə), Ayı ("Meşəbəyinin dostları", Əjdər Ol), Hökmdar Rac ("Yetim Rac", Oruc Qurbanov), Şaxta baba ("Balaca qara qız", Tərlan Abdullayev).

Çağdaş milli dramaturqlarımızın müxtəlif janrlı əsərlərində oynadığı səhnə obrazları: Şorot ("Qanqın böyük dalğası", Cahan Əfruz), Qoçaq "Molla Nəsrəddin və Əzrail", Şahrobi Əliyev), Alp Ərqoca ("Alp Ağuz", Fikrət Sadıq), Cavan oğlan ("Büst", Seyran Səxavət), Murad ("Dağlar arxasız olmur", Camal Yusifzadə), Cavanşir ("Onun iki qabırğası, Əli Əmirli), Dədə Qorqud (Məhəbbət və ölüm", Baba Rzayev), Talıb ("Sehrli üzük", Zakir Bağır), İkinci dərviş ("Min illərin işığı", Kamil Abdullayev), Gözətçi ("Füzuli", Ağamir Cavad), Sadıqov ("Qəhrəmanlıq xronikası", Baba Rzayev), Kiçik oğlan ("Ölüm hökmü", Əli Səmədli), Soran ("Cavanşir", Mehdi Hüseyn), Cavanşir ("Onun iki qabırğası", Əli Əmirli), Kapitan ("Şeytan işığı", Kamran Nəzirli), Otar ("Qəribə oğlan", İlyas Əfəndiyev), Ucal ("Ailədə məhkəmə", Marat Haqverdiyev), Cavanşir bəy ("Pənah xan Cavanşir", Hüseynbala Mirələmov), Nəsrəddin ("Nəsrəddin", Yusif Əzimzadə), Elnur ("Mənim ağ göyərçinim", Tamara Vəliyeva), Qoşqar ("Ana laylası", İsgəndər Coşqun), Ənvər ("Məni qınamayın", Hidayət).

Əcnəbi müəlliflərin dramlarında çıxış etdiyi bədii personajlar: Oliserin ("Yudif", Anton Tom İsaari), Meyxanıçı ("Karıxmış sultan", Taufiq əl Hakimi), Kor kişi ("Manyak", Əziz Nesin), İkinci anadangəlmə kor ("Korlar", Moris Meterlink), Bədheybət ("Çəkməli pişik və ya Şahzadə Pyer", Şarl Perro), Ömər ("Ocaq", Turqut Özakman), Gənc ("Piyada Mahmud", Mustay Kərim), Axlor ("Yudif", Anton Tamsaaren), Jandarm ("Nazirin xanımı", Branislav Nuşiç), Ömər ("Kərbəla", Bəkir Yıldız), Qasım ("Əlibaba və qırx quldur", nağıl əsasında işləyəni Loğman Kərimov), Paşa ("Fırıldaqçı", Lev Korsinski), Şaxta baba ("Sehrli yaylıq", Valeri Qubaryev), Vəkil ("Yaşanmayan gənclik" Savaş Dinçel) və s.

"Sevginin göz yaşları" (Bağır), "Günəşim ol" (Bəşir), "İzi itməyən cinayətlər" (Baş əməliyyatçı müvəkkil), və digər teleseriallara çəkilmişdir.

Uzun müddətdən bəri ümumrayon Novruz bayramı şənliklərində Dədə Qorqud rolunda çıxış edir.

Gürcüstan, Türkiyə, və digər xarici ölkələrdə keçirilən Beynəlxalq teatr festivallarının iştirakçısı olan A. Babayev 2022-ci ilin may ayının 10-da Azərbaycan Respublikası Prezidentinin mükafatına layiq görülmüşdür.

2012-ci ildə Sofoklun "Şah Edip" tamaşasında Tiresi roluna görə Lənkəran Şəhər İcra Hakimiyyəti tərəfindən "İlin ən yaxşı aktyoru" mükafatına və diplomuna layiq görülmüşdür.

20 iyun 2022-ci ildə Azərbaycan Respublikası Mədəniyyət Nazirliyinin Azərbaycan Teatr Xadimləri İttifaqı ilə birlikdə keçirdiyi Xurşudbanu Natəvanın 190 illiyinə həsr olunmuş "Cənnətim Qarabağ" bədii qiraət müsabiqəsinin diplomuna layiq görülmüşdür.

2023-cü ilin mayında Yeni Azərbaycan Partiyası Lənkəran rayon təşkilatı tərəfindən səmərəli fəaliyyətinə görə Ümummilli lider Heydər Əliyevin 100 illik yubileyi münasibətilə Fəxri fərmanla təltif olunmuşdur.