Aksiomatik üsul – elmi nəzəriyyənin qurulma və tədqiqat üsuludur. Əsasən, riyazi nəzəriyyələrə tətbiq olunur. Aksiomatik üsulla qurulmuş elmi nəzəriyyə aksiomatik və ya deduktiv nəzəriyyə adlanır. Riyazi nəzəriyyə Aksiomatik üsulla qurulduqda əvvəlcə qurulan aksiomatika üçün ilkin olan anlayışlar verilir. İlkin anlayışlar başqa anlayışlarla izah edilmir və məntiqi əsaslandırılmır. Aksiomatik nəzəriyyənin başqa anlayışları ilkin anlayışlar əsasında məntiqi yolla daxil edilir. Hər başqa anlayış ilkin anlayışlardan təşkil edilmiş predikatın ixtisarlaşdırılmış adıdır. Aksiomatik nəzəriyyənin hökmü onun anlayışları arasındakı məntiqi əlaqəni göstərən formullar olub, məntiqi yolla ilkin anlayışlardan alınmışdır. Aksiomatik nəzəriyyəni başqa elmi nəzəriyyələrdən ayıran əsas əlamət isbat olunan hökmün məntiqi əsaslandırılmasıdır. Aksiomatik üsula görə baxılan nəzəriyyənin bəzi müddəa və təklifləri qurulan aksiomatik nəzəriyyə üçün doğru elan edilir, isbatsız qəbul olunur və aksiomatik nəzəriyyənin aksiomları adlanır. Aksiomatik nəzəriyyənin qalan hər müddəası aksiomların məntiqi nəticəsi kimi alındıqda doğru hesab edilir. Bu nəzəriyyənin isbat oluna bilən müddəalarına teorem deyilir. A müddəası yalnız o halda teorem adlanır ki, müddəaların A1,…, An ardıcıllığı iki şərti ödəsin.

1) ardıcıllığın hər A_k üzvü ya aksiomdur, ya da bu ardıcıllıqda özündən qabaqkı müddəaların məntiqi nəticəsidir;

2)A_n müddəası A-nın özüdür.

Elmi nəzəriyyə Aksiomatik üsulla qurulduqda onun isbat edilə bilən müddəaları məntiqi yolla birqiymətli təyin edilir, təcrübi və ya intuitiv fakta əsaslanmır. Aksiomatik üsul formal məntiqi isbat anlayışının araşdırılma sında və riyaziyyatın inkişaf tarixində kulminasiya nöqtəsi olub, ümumiyyətlə, elmi nəzəriyyələrin məntiqi analizinin tələbi ilə yaranmışdır. Kvant elektrodinamikası, statistik fizika və nisbilik nəzəriyyəsində onun əhəmiyyəti böyükdür. Aksiomatik üsul inkişaf tarixində əsas üç dövr keçmişdir. Birincisi Qədim Yunanıstanda həndəsənin bir elm kimi qurulması ilə bağlıdır. Bu dövrün əsas əsəri Evklidin "Başlanğıclar"ıdır. Əsərdə həndəsə Aksiomatik üsulla sistematik qurulmuşdur. Bu dövrdə aksiom elə təkliflərə deyilirdi ki, onların doğruluğu öz-özündən aşkar olsun. Buna görə də paralellik aksiomunu alimlər iki min ildən artıq bir dövrdə isbat etməyə cəhd göstərmişlər. Aksiomatik üsulun işlənilməsində Evklidin düz xətlərin paralelliyi haqqında V postulatının böyük rolu olmuşdur. Aksiomatik üsulun inkişafında Ömər Xəyyam, Heysəm və Nəsirəddin Tusinin xidməti böyükdür. Onların verdiyi isbatlar aksiomatik nəzəriyyələrdəki isbatların klassik nümunələrindən olub, İ. Lambert və başqalarının tədqiqatları ilə birlikdə N. İ. Lobaçevskinin riyaziyyatda inqilabiləşdirici nailiyyətləri üçün zəmin hazırladı. N. İ. Lobaçevski, Y. Bolyay və K. F. Qauss göstərdilər ki, həndəsəni Evklidin aksiomlarından fərqli aksiomlar əsasında ziddiyyətsiz qurmaq olar. İkinci dövrdə mühüm nəticələr alındı. C. Peano hesabı, D. Hilbert həndəsəni, B. Rassel məntiqi, alman riyaziyyatçısı E. Tsermelo isə çoxluqlar nəzəriyyəsini Aksiomatik üsulla qurdu. Aksiomatik üsulun inkişaf və tədqiqat üsüluna çevrilməsində Kantorun çoxluqlar nəzəriyyəsinin böyük rolu oldu. Riyazi nəzəriyyələrin çoxluqlar nəzəriyyəsi əsasında Aksiomatik üsulla qurulması topologiya, ehtimal nəzəriyyəsi və bir sıra digər riyazi nəzəriyyələrin aksiomatikləşdirilməsinə gətirdi. İnterpretasiya və model aksiomatik nəzəriyyənin əsas anlayışlarındandır. Aksiomatik sistemin teoremləri eyni zamanda bütün modellərin doğru müddəalarıdır. Baxılan modelin doğru təkliflərini tapmaq üçün məlum aksiomatik sistemin aksiomlarının həmin modeldə ödənildiyini göstərmək kifayətdir. Aksiomatik üsul aksiomatik nəzəriyyə üçün metanəzəriyyənin də qurulmasını nəzərdə tutur. Aksiomatik sistemin metanəzəriyyəsində, əsasən aksiomlar sisteminin ziddiyyətsizliyi, doğruluğu və qeyri-asılılığı araşdırılır.

Aksiomatik üsulun ardıcıl inkişafı və teoremlərin aksiomlardan alınmasında istifadə olunan məntiqi qaydaları dəqiq şərh etmək cəhdi Hilbertin formal Aksiomatik üsulunun kəşfinə gətirdi. Bu, üçüncü dövrün başlanğıcı oldu. Həmin üsula görə aksiomların şərhində çoxluqlar nəzəriyyəsi və hesab anlayışlarından istifadə edilməməlidir. Məntiqin aksiomatikləşdirilməsi nəticəsində aksiomun ikinci dövrdəki mənası aradan çıxdı. Buna əsasən Hilbert göstərdi ki, aksiom məntiqi və riyazi simvollarla qurulmuş formullardır. Məsələn, formal sistemdə məntiqin modus ponens (latın dilində aradan çıxartma) qaydası A, B və C formulları arasında elə münasibəti göstərir ki, bu münasibətə görə B formulu "əgər A-dırsa, onda, C-dir" şəklində olmalıdır. Bu halda C formulu A və B-dən bilavasitə məntiqi alına bilən adlanır. Başqa sözlə, C formulu A və "əgər A-dırsa, onda, C-dir" formullarının bilavasitə məntiqi nəticəsidir. Hilbert formalizə etməklə aksiomatik sistemləri və beləliklə də riyaziyyatın ziddiyyətsizliyini konstruktiv və kombinator sonlu metodlarla isbat etməyə cəhd göstərdi. Lakin Avstriya riyaziyyatçısı K. Gödel göstərdi ki, nəinki konstruktiv üsullarla, hətta baxılan formal sistemdə formalizə edilmiş məntiqi vasitələrlə belə ziddiyyətsiz güclü aksiomatik sistemin ziddiyyətsizliyini isbat etmək olmaz. Aksiomatik üsul riyaziyyatda intuisionizm və konstruktivizm baxımından kəskin tənqid edilir. İntuisionistlərə görə üçüncünün istisnalığı prinsipi rədd edilir və onu şərtsiz qəbul edən Aksiomatik üsul qüsurlu hesab olunur. Konstruktivistlər isə yalnız konstruktiv obyektləri və onların konstruktiv sistemlərini riyaziyyatın tədqiqat obyekti hesab edir. Bu üsulda verilmiş elm sahəsinin bəzi obyektləri tərifsiz qəbul olunur və onların xassələri aksiomlarda ifadə olunur. Sonrakı anlayışlar təriflərin köməyi ilə daxil edilir. Bu təriflərdə məlum anlayışlardan (tərifsiz və ya tərifi olan) istifadə olunur. Aksiomatik üsul qurulan elmi nəzəriyyənin öyrəndiyi obyektlər arasındakı münasibətlər aksiomlar və teoremlərin köməyi ilə ifadə olunur. Aksiomların doğruluğu qəbul olunur. Teoremlərin doğruluğu aksiomlardan və ya əvvəl isbat olunmuş teoremlərdən formal-məntiqi yolla alınır. (isbat olunur). Hər hansı elmi nəzəriyyənin aksiomatik üsul qurulması deduktiv üsul adlanır.