Fizika və ya kimyanın giriş kurslarında, adətən, Şredinger tənliyini elə verirlər ki, yalnız diferensial hesabının əsas anlayış və xassələrini, xüsusən də fəza və zamana aid törəmələri bilərək hesablamalar aparmaq mümkün olsun. Bütün bu deyilənləri özündə əks etdirən Şredinger tənliyinin xüsusi halı, tək qeyri-relyativist hissəcik üçün birölçülü mövqe-fəza Şredinger tənliyidir:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,t)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x,t)\right]\Psi (x,t).}$  

Burada, ${\displaystyle \Psi (x,t)}$   dalğa funksiyası olub, hər bir ${\displaystyle x}$   nöqtəsinə ${\displaystyle t}$   anında müəyyən bir kompleks ədədi qarşı qoyur. ${\displaystyle m}$   parametri hissəciyin kütləsi, ${\displaystyle V(x,t)}$   isə hissəciyin yerləşdiyi mühiti xarakterizə edən potensial, ${\displaystyle i}$   xəyali vahid, ${\displaystyle \hbar }$   isə gətirilmiş Plank sabitidir.

Bu sadə vəziyyətin önünə keçməklə kvant mexanikasının Pol Dirak, David Hilbert, Con fon Neyman və Herman Veyl tərəfindən tərtib edilmiş ciddi riyazi forması kvant-mexaniki sistemin halını ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$   Hilbert fəzasının ${\displaystyle |\psi \rangle }$   vektoruyla ifadə edir. Bu vektorun Hilbert fəzasının skalyar hasili altında normallaşdırıldığı fərz edilir, yəni o Dirak notasiyasına tabe olur ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$  . Hilbert fəzasının təbiəti sistemdən asılıdır — məsələn, mövqe və impulsu təsvir etmək üçün Hilbert fəzası ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {C} )}$   kompleks kvadratik inteqrallanan funksiyalar fəzası, tək protonun spini üçün isə sadəcə olaraq ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$   ikiölçülü kompleks vektorlar fəzasıdır.

Maraqlanılan fiziki kəmiyyətlər — mövqe, impuls, enerji, spin — Hilbert fəzasına təsir edən Ermit (daha dəqiq, özü-özünə qoşma) xətti operatorlar olan "müşahidəolunanlar" ilə təmsil olunur. Dalğa funksiyası müşahidəolunabilənin məxsusi vektoru ola bilər, bu halda o, məxsusi hal adlanır və əlaqəli xüsusi qiymət həmin məxsusi halda müşahidəolunanın qiymətinə uyğun gəlir. Daha ümumi şəkildə, kvant halı kvant superpozisiyası kimi tanınan məxsusi halların xətti kombinasiyası olacaqdır. Müşahidəolunabilən ölçüldükdə, nəticə ilə verilmiş ehtimalla onun məxsusi qiymətlərindən biri olacaq: ən sadə halda məxsusi qiymət ${\displaystyle {\displaystyle \lambda }}$   cırlaşmayandır və ${\displaystyle |\langle \lambda |\psi \rangle |^{2}}$  ehtimalıyla verilir. Burada ${\displaystyle |\lambda \rangle }$   rabitəli məxsusi vektordur. Daha ümumi şəkildə, məxsusi qiymət cırlaşandır və ${\displaystyle \langle \psi |P_{\lambda }|\psi \rangle }$   ehtimalı ilə verilir. Burada ${\displaystyle P_{\lambda }}$   rabitəli məxsusi fəza üzrə proyektordur.

İmpulsun məxsusi halı kvadratik inteqrallanmayan, sonsuz dərəcədə mükəmməl monoxromatik dalğa olacaqdır. Eynilə, mövqenin məxsusi halı Dirak delta paylanması olacaq, o kvadratik inteqrallanmır və texniki cəhətdən ümumiyyətlə funksiya deyil. Nəticə etibarilə, heç biri hissəciyin Hilbert fəzasına aid ola bilməz. Fiziklər bəzən bu fəzanın xaricindəki elementlərdən ibarət Hilbert fəzası üçün həqiqi olmayan "əsaslar" irəli sürürlər. Bunlar hesablama rahatlığı üçün icad edilmişdir və fiziki halları təmsil etmir. Beləliklə, mövqe-fəza dalğa funksiyası ${\displaystyle \Psi (x,t)}$   yuxarıda istifadə edildiyi kimi, zamandan asılı ${\displaystyle {\displaystyle |\Psi (t)\rangle }}$   hal vektorunun qeyri-fiziki lakin əlverişli olan "mövqenin məxsusi halları" ${\displaystyle |x\rangle }$   ilə skalyar hasili kimi yazıla bilər

${\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x|\Psi (t)\rangle .}$  

Şredinger tənliyinin forması fiziki şəraitdən asılıdır. Ən ümumi forma zamandan asılı Şredinger tənliyidir. O zamana görə dəyişən sistemi təsvir edir:

Burada, ${\displaystyle t}$   zaman, ${\displaystyle \vert \Psi (t)\rangle }$   kvant sisteminin hal vektoru (${\displaystyle \Psi }$   yunan hərfi psidir), ${\displaystyle {\hat {H}}}$   Hamilton operatorudur.

"Şredinger tənliyi" ifadəsi həm ümumi tənliyi, həm də onun xüsusi qeyri-relyativist versiyanı ifadə edə bilər. Ümumi tənlik həqiqətən də olduqca ümumidir, Dirak tənliyindən tutmuş kvant sahə nəzəriyyəsinə qədər hər şey üçün kvant mexanikasında Hamiltonian üçün müxtəlif ifadələr birləşdirərək istifadə olunur. Xüsusi qeyri-relativist versiya bir çox hallarda, ancaq müəyyən dərəcəyə qədər dəqiq nəticələr verən yaxınlaşmadır.

Şredinger tənliyini tətbiq etmək üçün sistemi təşkil edən hissəciklərin kinetik və potensial enerjilərini nəzərə alaraq sistem üçün Hamiltonian yazılır, sonra o Şredinger tənliyinə daxil edilir. Alınan xüsusi törəməli diferensial tənlik sistem haqqında məlumatı ehtiva edən dalğa funksiyası üçün həll edilir. Praktikada ehtimal sıxlığı funksiyasını təyin etmək üçün hər bir nöqtədə dalğa funksiyasının mütləq qiymətinin kvadratı götürülür. Məsələn, yuxarıdakı kimi mövqe fəzasında ${\displaystyle \Psi (x,t)}$   dalğa funksiyası verilmişdirsə,

${\displaystyle \Pr(x,t)=|\Psi (x,t)|^{2}.}$  

Yuxarıda təsvir edilən zamandan asılı Şredinger tənliyi dalğa funksiyalarının stasionar hallar adlanan durğun dalğalar əmələ gətirə biləcəyini xəbər verir. Bu hallar xüsusilə vacibdir, çünki onların ayrıca tədqiqi sonradan istənilən vəziyyət üçün zamandan asılı Şredinger tənliyinin həll olunması məsələsini asanlaşdırır. Stasionar hallar Şredinger tənliyinin daha sadə forması, zamandan asılı olmayan Şredinger tənliyi ilə də təsvir edilə bilər.

${\displaystyle \operatorname {\hat {H}} |\Psi \rangle =E|\Psi \rangle }$  

burada ${\displaystyle E}$   sistemin enerjisidir. Bu, yalnız Hamiltonian özü zamandan aşkar şəkildə asılı olmadıqda istifadə olunur. Bununla belə, hətta bu halda ümumi dalğa funksiyası aşağıda xəttilik bölməsində izah edildiyi kimi zamandan asılıdır. Xətti cəbrin diliylə desək, bu tənlik məxsusi qiymətli tənlikdir. Buna görə də, dalğa funksiyası Hamilton operatorunun müvafiq məxsusi qiymət(lər)i olan məxsusi funksiyasıdır.

Şredinger tənliyi xətti diferensial tənlikdir, yəni iki hal vektoru ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$   və ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$   həllərdirsə, onda hər hansı bir xətti kombinasiya da tənliyin həlli olar:

${\displaystyle |\psi \rangle =a|\psi _{1}\rangle +b|\psi _{2}\rangle }$  

burada a və b ixtiyari kompleks ədədlərdir. Üstəlik, bu cəmi istənilən sayda hal vektoru üçün genişləndirmək olar. Bu xassə kvant hallarının superpozisiyalarının Şredinger tənliyinin həlli olmasına imkan verir. Daha ümumi şəkildə desək, Şredinger tənliyinin ümumi həllini hallar əsasında cəmləmə aparmaqla tapmaq olar. Tez-tez istifadə olunan seçim zamandan asılı olmayan Şredinger tənliyinin həlləri olan məxsusi enerji hallarının əsasıdır. Bu əsasda zamandan asılı hal vektoru ${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$   xətti kombinasiya kimi yazıla bilər

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n}A_{n}e^{{-iE_{n}t}/\hbar }|\psi _{E_{n}}\rangle ,}$  

burada ${\displaystyle A_{n}}$   və ${\displaystyle |\psi _{E_{n}}\rangle }$   uyğun olaraq kompleks ədədlər və vektorlar olub, zamandan asılı olmayan ${\displaystyle H|\psi _{E_{n}}\rangle =E_{n}|\psi _{E_{n}}\rangle }$   tənliyinin həlləridir.

${\displaystyle {\hat {H}}}$   Hamilton operatoru sabit olduqda Şredinger tənliyinin həlli var.

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }|\Psi (0)\rangle .}$  

${\displaystyle {\hat {U}}(t)=e^{-i{\hat {H}}t/\hbar }}$   zaman-evolyusiya operatoru adlanan unitar operatordur, yəni Hilbert fəzasında vektorlararası skalyar hasili qoruyur. Unitarlıq Şredinger tənliyi üzrə zaman-evolyusiyanın ümumi xassəsidir. İlkin hal isə ${\displaystyle |\Psi (0)\rangle }$   kimidir. Bu hal ${\displaystyle t}$   müddətindən sonra belə olar:

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t)|\Psi (0)\rangle }$  

bəzi unitar ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$   operatorları üçün. Əksinə, fərz edək ki, ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$   ${\displaystyle t}$   vasitəsilə parametrləşdirilmiş vahid operatorların kəsilməz ailəsidir. Ümumiliyi pozmadan parametrləşdirmə elə seçilə bilər ki, ${\displaystyle {\hat {U}}(0)}$   hər hansı ${\displaystyle {\hat {U}}(t/N)^{N}={\hat {U}}(t)}$   istənilən ${\displaystyle N>0}$   üçün identifikasiya operatoru olsun. Bu zaman ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$   operatorunun ${\displaystyle t}$   parametrindən asılılığı aşağıdakı kimi olar

${\displaystyle {\hat {U}}(t)=e^{-i{\hat {G}}t}}$  

bəzən özü-özünə qoşma ${\displaystyle {\hat {G}}}$   operatoruna ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$   ailəsinin generatoru deyilir. Hamiltonian məhz belə bir generatordur (təbii vahidlərdə 1-ə bərabər olan Plank sabitinə qədər).

Şredinger tənliyi tez-tez mövqe funksiyaları kimi dəyişən kəmiyyətlərdən istifadə etməklə verilir, lakin vektor-operator tənliyi kimi Hilbert fəzasında ketlərin istənilən ixtiyari tam bazasında etibarlı təmsilə malikdir. Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, fiziki Hilbert fəzasından kənarda yerləşən "əsaslar" da hesablama məqsədləri üçün istifadə olunur. Bu, qeyri-relyativistik, spinsiz hissəcik üçün mövqe-fəza və impuls-fəza Şredinger tənlikləri ilə təsvir edilmişdir. Belə bir hissəcik üçün Hilbert fəzası üçölçülü Evklid fəzasında kompleks kvadratik inteqrallanan funksiyalar fəzasıdır və onun Hamiltonianı impuls operatorunda kvadratik olan kinetik və potensial enerji hədlərinin cəmidir.

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi (t)\rangle =\left({\frac {1}{2m}}{\hat {p}}^{2}+{\hat {V}}\right)|\Psi (t)\rangle .}$  

Üçölçülü ${\displaystyle \mathbf {r} }$   fəza və ${\displaystyle \mathbf {p} }$   impuls vektorları üçün mövqe-fəza Şredinger tənliyi aşağıdakı kimi yazılır

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} )\Psi (\mathbf {r} ,t).}$  

İmpuls-fəza qarşılığı dalğa funksiyasının və potensialın Furye çevrilmələrini əhatə edir:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}{\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)+(2\pi \hbar )^{-3/2}\int d^{3}\mathbf {p} '\,{\tilde {V}}(\mathbf {p} -\mathbf {p} '){\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ',t).}$  

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$   və ${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)}$   funksiyaları ${\displaystyle |\Psi (t)\rangle }$   funksiyasından aşağıdakıların köməyilə alınır

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\langle \mathbf {r} |\Psi (t)\rangle ,}$  

${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(\mathbf {p} ,t)=\langle \mathbf {p} |\Psi (t)\rangle ,}$  

burada ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$   və ${\displaystyle |\mathbf {p} \rangle }$   Hilbert fəzasının özünə aid deyildir, lakin bu fəzanın bütün elementləri ilə dəqiq müəyyən edilmiş skalyar hasillərə malikdirlər. Mövqe-fəza tənliyi üç ölçüdən bir ölçüyə doğru məhdudlaşdırıldıqda, mövqe-fəza tənliyi yuxarıda verilmiş Şredinger tənliyinin yalnız birinci formasıdır. Kvant mexanikasında mövqe və impuls arasındakı əlaqə bir ölçüdə qiymətləndirilə bilər. Kanonik kvantlamada klassik dəyişənlər ${\displaystyle x}$   və ${\displaystyle p}$   kanonik kommutasiya əlaqəsini təmin edən ${\displaystyle {\hat {x}}}$   və ${\displaystyle {\hat {p}}}$   özü-özünə qoşma operatorlara yüksəldilir

${\displaystyle [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar .}$  

Bu o deməkdir ki,

${\displaystyle \langle x|{\hat {p}}|\Psi \rangle =-i\hbar {\frac {d}{dx}}\Psi (x),}$  

ona görə də mövqe-fəza təsvirində ${\displaystyle {\hat {p}}}$   impuls operatorunun təsiri belədir: ${\displaystyle -i\hbar {\frac {d}{dx}}}$  . Beləliklə ${\displaystyle {\hat {p}}^{2}}$   ikitərtibli törəmə olur və üç ölçüdə ikitərtibli törəmə ${\displaystyle \nabla ^{2}}$   Laplasian olur.

Kanonik kommutasiya əlaqəsi həm də mövqe və impuls operatorlarının bir-birinin Furye qoşmaları olduğunu nəzərdə tutur. Nəticə etibarilə, ilkin olaraq mövqedən asılılıq baxımından müəyyən edilmiş funksiyalar Furye çevrilməsindən istifadə edərək impuls funksiyalarına çevrilə bilər. Bərk cisim fizikasında Şredinger tənliyi tez-tez impuls funksiyaları üçün yazılır, çünki Blox teoremi periodik kristal qəfəsin potensial cütlərini təmin etdiyindən, ${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(p)}$   ilə ${\displaystyle {\tilde {\Psi }}(p+K)}$   yalnız diskret qarşılıqlı qəfəs vektorları ${\displaystyle K}$   üçün yazılır. Bu Briluen zonasındakı digər nöqtələrdən asılı olmayaraq Briluen zonasının hər bir nöqtəsində impuls-fəza Şredinger tənliyini həll etməyi asanlaşdırır.

Şredinger tənliyi yerli ehtimalın saxlanmasına uyğundur. Sağdakı Şredinger tənliyini kompleks qoşma dalğa funksiyasına vurmaq və dalğa funksiyasını Şredinger tənliyinin kompleks qoşmasının soluna vurub çıxmaqla ehtimal üçün kəsilməzlik tənliyini almaq olar:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho \left(\mathbf {r} ,t\right)+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,}$  

burada

${\displaystyle \rho =|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)}$  

ehtimal sıxlığı (vahid həcmə düşən ehtimal, * kompleks qoşmanı bildirir),

${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}{\hat {\mathbf {p} }}\Psi -\Psi {\hat {\mathbf {p} }}\Psi ^{*}\right)}$  

isə ehtimal cərəyanıdır (vahid səthə düşən cərəyandır).

Əgər Hamiltonian zamanın aşkar funksiyası deyilsə, tənlik fəza və zamana aid hissələrin hasili kimi vuruqlara ayrıla bilər. Tənliyi dəyişənlərə ayırma yolu ilə həll etmək, aşağıdakı formanın həllini axtarmaq deməkdir

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )\tau (t),}$  

burada ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$   yalnız sistemi təşkil edən hissəcik(lər)in bütün fəza koordinat(lar)ının, ${\displaystyle \tau (t)}$   isə yalnız zamanın funksiyasıdır. Bu ifadəni ${\displaystyle \Psi }$   funksiyasının yerinə yazsaq

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )e^{-i{Et/\hbar }}.}$  

Bu tip bir həll stasionar adlanır, çünki zamandan asılı olan yeganə şey Born qaydası ilə ehtimal sıxlığı hesablandıqda ləğv edən bir faza amilidir.

Bu, istənilən sayda ölçülər (zamandan asılı olmayan potensialda) istənilən sayda hissəcik üçün ümumiləşdirilir: zamandan asılı tənliyin durğun dalğa həlləri müxtəlif enerjilərin ehtimal paylanması əvəzinə müəyyən enerjiyə malik vəziyyətlərdir. Fizikada bu durğun dalğalar "stasionar vəziyyətlər" və ya "enerji məxsusi halları" adlanır; kimyada onlara "atom orbitalları" və ya "molekul orbitalları" deyilir. Enerjinin məxsusi hallarının superpozisiyaları enerji səviyyələri arasındakı nisbi fazalara uyğun olaraq xassələrini dəyişir. Enerjinin məxsusi halları əsas təşkil edir: hər hansı bir dalğa funksiyası diskret enerji vəziyyətləri üzərində cəmi və ya kəsilməz enerji vəziyyətləri üzərində inteqral və ya daha ümumi olaraq ölçü üzərində inteqral kimi yazıla bilər. Bu, riyaziyyatda spektral teoremdir və sonlu ölçülü vəziyyət fəzasında bu, sadəcə olaraq Ermit matrisinin məxsusi vektorlarının tamlığının ifadəsidir.

Dəyişənlərin ayrılması zamandan asılı olmayan Şredinger tənliyi üçün də səmərəli bir üsul ola bilər. Məsələn, problemin simmetriyasından asılı olaraq, Dekart oxları üzrə

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi _{x}(x)\psi _{y}(y)\psi _{z}(z),}$  

şəklində və ya sferik koordinatlar üzrə aşağıdakı kimi ayrıla bilər:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\psi _{r}(r)\psi _{\theta }(\theta )\psi _{\phi }(\phi ).}$  

• and by , Yale OpenCourseware  (ing.)
• – an online textbook.  (ing.)
• at MIT OpenCourseWare  (ing.)