Zeta sabiti

• 0-da Rieman zeta funksiyası aşağıdakı kimidir:

${\displaystyle \zeta (0)=B_{1}=-{\frac {1}{2}}.}$ 

• 1-də Rieman zeta funksiyası aşağıdakı kimidir:

${\displaystyle \zeta (1)=\infty .\,}$ 

Müsbət cüt tam ədədlər üçün aşağıdakı kimidir:

${\displaystyle \zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}}$ 

${\displaystyle n\geq 1}$  düsturuna əsasən hesablanmış zeta funksiyası:

${\displaystyle \zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}=1.6449\dots }$ ; Bazel problemi

${\displaystyle \zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}=1.0823\dots }$ ; Fizikada Ştefan–Boltsman qanunu və Vyana Yaxınlaşması

${\displaystyle \zeta (6)=1+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}=1.0173...\dots }$ 

${\displaystyle \zeta (8)=1+{\frac {1}{2^{8}}}+{\frac {1}{3^{8}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{8}}{9450}}=1.00407...\dots }$ 

${\displaystyle \zeta (10)=1+{\frac {1}{2^{10}}}+{\frac {1}{3^{10}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{10}}{93555}}=1.000994...\dots }$ 

${\displaystyle \zeta (12)=1+{\frac {1}{2^{12}}}+{\frac {1}{3^{12}}}+\cdots ={\frac {691\pi ^{12}}{638512875}}=1.000246\dots }$ 

${\displaystyle \zeta (14)=1+{\frac {1}{2^{14}}}+{\frac {1}{3^{14}}}+\cdots ={\frac {2\pi ^{14}}{18243225}}=1.0000612\dots }$ 

Müsbət tam ədəd üçün olan zeta ilə Bernulli ədədləri arasındakı əlaqə aşağıdakı kimi yazılır:

${\displaystyle 0=A_{n}\zeta (n)-B_{n}\pi ^{n}\,}$ 

Buna misal olaraq bir neçəsini göstərmək olar:

${\displaystyle \zeta (1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty }$ 

${\displaystyle \zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots =1.20205\dots }$ ; Aperi sabiti

${\displaystyle \zeta (5)=1+{\frac {1}{2^{5}}}+{\frac {1}{3^{5}}}+\cdots =1.03692\dots }$ 

${\displaystyle \zeta (7)=1+{\frac {1}{2^{7}}}+{\frac {1}{3^{7}}}+\cdots =1.00834\dots }$ 

${\displaystyle \zeta (9)=1+{\frac {1}{2^{9}}}+{\frac {1}{3^{9}}}+\cdots =1.002008\dots }$ 

Zeta Sabitləri Cəminin düsturu aşağıdakı kimidir:

${\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }(\zeta (k)-1)=1}$ 

• Simon Pluffe "Zeta sabiti Arxivləşdirilib 2009-01-30 at the Wayback Machine", (1998).
• Simon Pluffe "Zeta sabiti haqqında Arxivləşdirilib 2009-04-04 at the Wayback Machine
• Simon Pluffe "PDF Zeta sabiti Arxivləşdirilib 2011-09-26 at the Wayback Machine" (2006).
• Linas Vepstas "Simon Pluffi Linas.org"
• Math. NT/0609775 Arxiv (2006).
• Vadim Zudilin "ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11)'den Biri İrrasional." Uspekhi Mat. Nauk 56, 149–150, 2001.
• PDF Wain.mi.ras.ru  (rus.)
• PS Wain.mi.ras.ru  (rus.)
• PDF Wain.mi.ras.ru  (rus.)
• PS Wain.mi.ras.ru  (rus.)