Xəta (riyaziyyat)

Xəta – müşahidə edilən və ya ölçülən nəticələrlə həqiqətdə olacaqlar arasında uyuşmazlıq. Riyaziyyatda və hesablama texnikasında “ERROR” ilə “MISTAKE” heç də eyni şey deyildir. Riyaziyyatda xəta (error), alınmış qiymət ilə verilmiş standart kəmiyyət arasındakı fərqdir; məsələn, statistikada xətalar qaçılmazdir və statistik verilənlər, adətən, “Seçmə yolu ilə aparılmış araşdırmanın xətası: ±5%” kimi qeydlərlə müşayət olunur. Kompüterlərin aparat və proqram təminatında xəta, ya hadisələrin gözlənilməz gedişinin nəticəsi, ya da mümkün olmayan və ya yolverilməz hərəkətləri həyata keçirmək cəhdinin nəticəsidir. Belə ki, veriliş xətası bir və ya bir neçə bitin təhrif olunmasını, “sıfıra bölmə” xətası isə proqramın sıfıra bölməni həyata keçirməyə cəhd etməsini göstərə bilər. Xətalar çox kiçik ola bilər, məsələn, disksürənin kilidi bağlı olmadıqda proqram diskdən istifadə edə bilmir; çox ciddi problemlər də ola bilər, məsələn, aparat təminatındakı nasazlıq və ya ciddi proqram xətası sistemin sıradan çıxmasına səbəb ola bilir.

Xəta anlayışı

Praktik məsələlərin həllində bəzi hallarda kəmiyyətin dəqiq qiyməti ilə yanaşı onun təqribi qiymətindən də istifadə olunur. Tutaq ki, hər hansı kəmiyyətin dəqiq qiyməti $A$, kəmiyyətin $A$ dəqiq qiymətə uyğun təqribi qiyməti isə $a$ ilə işarə olunmuşdur. Kəmiyyətin təqribi qiyməti onun dəqiq qiymətindən az fərqlənir və hesablama proseslərində ondan olunur. Bundan sonra dəqiq və təqribi ədəd uyğun olaraq $A$ və $a$ ilə işarə edəcəyik. Hesablama prosesini sadələşdirmək məqsədi ilə dəqiq qiymətin təqribi qiymətlə olunmasından, real proseslə onu təsvir edən riyazi model arasında fərqlərdən, məsələnin həlli prosesində istifadə olunan metodun təqribiliyindən, ədədlər üzərində yuvarlaqlaşdırmadan müəyyən xətalar əmələ gəlir. Bu göstərilən xətaların hər biri böyük olmasa da müəyyən əməliyyatlar aparıldıqdan sonra bu xətalar cəmlənib böyüməsinə səbəb ola bilər. Ona görə də məsələnin həllində xətanın az olmasına çalışmaqla bərabər bu xətalar qiymətləndirilməlidir. Hesablama riyaziyyatında xətaların qiymətləndirilməsində mütləq və nisbi xəta anlayışlarından istifadə olunur.

Mütləq xəta

Ədədin dəqiq qiyməti ilə təqribi qiymətinin fərqinin təqribi ədədin xətası deyilir. Bu müsbət yaxud mənfi ola bilər. Fərqin mütləq qiymətinə təqribi ədədin mütləq xətası və aşağıdakı kimi işarə olunur:

$\Delta a=|A-a|$

$A$ dəqiq ədədi məlum olduqda deyilən qayda ilə mütləq xətanı hesablamaq mümkündür. Əgər $A$ məlum deyilsə, mütləq xəta hesablanmır və mütləq xətanın hüdud qiyməti (bəzi ədəbiyyatlarda limit mütləq xəta, hüdud mütləq xəta və ya mütləq xətanın limit qiyməti $\Delta ^{*}a$ ) anlayışından istifadə olunur. Bu halda hesablama prosesinin hansı dəqiqliklə aparıldığı barədə (məsələn hesabat $0,01$ dəqiqliklə aparılıb, ədəd yuvarlaqlaşdırılaraq $24,45$ qiyməti alınmışdır) məlumat verilir. Bu məlumat mütləq xətanın hüdud qiymətini xarakterizə edir və mütləq xəta bu qiymətdən ola bilməz.

$\Delta a=|A-a|\leq \Delta ^{*}a$

Bu münasibətdən dəqiq $A$ ədədinin daxil olduğu aralığı tapmaq mümkündür.

$a-\Delta ^{*}a=A\leq a+\Delta ^{*}a$

Bu halda dəqiq $A$ ədədinin qiyməti asağıdakı kimi yazılır.

$A=a\pm \Delta ^{*}a$

Nisbi xəta

Mütləq xəta və mütləq xətanın hüdud qiymətinə görə hesablamanın dəqiqliyini xarakterizə etmək həmişə kifayət deyil. Ona görə yeni anlayış-nisbi xəta anlayışından istifadə edilir və o aşağıdakı kimi hesablanır;

$\delta _{a}={\frac {\Delta a}{|A|}}$

Mütləq xətanın hüdud qiymətində olduğu kimi nisbi xətanın hüdud qiyməti- $\delta _{a}^{*}$ anlayışındanda istifadə olunur.

$\delta _{a}^{*}\geq \delta _{a}\Rightarrow \delta _{a}^{*}\geq {\frac {\Delta A}{|A|}}\Rightarrow \Delta a\leq |A|\delta _{a}^{*}$

olduğunu nəzərə alsaq $\Delta ^{*}a=|A|\delta _{a}^{*}$ qəbul edə bilərik. Dəqiq $A$ ədədi məlum olmadığından və $A\approx a$ ədədi qəbul edilə bilindiyini nəzərə alsaq $\Delta ^{*}a=|A|\delta _{a}^{*}$ münasibətini alarıq. Qeyd etmək lazımdır ki, nisbi xəta və nisbi xətanın hüdud qiyməti kəmiyyətin ölçü vahidindən asılı deyil və çox vaxt faizlərlə ifadə olunur. Verilən düsturların köməyi ilə mütləq və nisbi xətanı, mütləq və nisbi xətanın hüdud qiymətlərini müəyyən etmək olar.

Misal

$A=184,27$,$a=184,264$. Mütləq və nisbi xətanı tapaq:

Həlli:

$\Delta a=|A-a|=|184,27-184,264|=|0,006|=0,006$ $\delta _{a}={\frac {\Delta a}{|A|}}={\frac {0,006}{184,27}}=0,0000326$

Praktik məsələlərin həllində xətaları müxtəlif olan təqribi ədədlər üzərində müəyyən əməliyyatlar apanlır və alınmış nəticənin xətasını qiymətləndirmək lazım gəlir. Məsələn; düzbucaqlının tərəflərinin təqribi qiymətləri və xətaları məlum olduqda perimetrinin və sahəsinin xətasını qiymətləndirmək üçün təqribi ədədlər üzerində toplama və vurma əməlləri zamanı xətanın qiymətləndirilməsini bilmək lazımdır.

Ədəbiyyat

1. M.Mərdanov, S.Mirzəyev, Ş. Sadıqov Məktəblinin riyaziyyatdan izahlı lüğəti. Bakı 2016, "Radius nəşriyyatı", 296 səh.

2. "Azərbaycan Sovet Ensklopediyası" I-X cild, Bakı 1976-1987.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Наука, 1975