Frank-Tamm düsturu

Enerji ${\displaystyle dE}$  bir hissəciyin vahid tezlikdə keçdiyi vahid uzunluğa görə ${\displaystyle d\omega }$  üçün $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}E}{\partial x\,\partial \omega }}={\frac {q^{2}}{4\pi }}\mu (\omega )\omega \left(1-{\frac {c^{2}}{v^{2}n^{2}(\omega )}}\right)}$$  o şərtlə ki, ${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}>{\frac {1}{n(\omega )}}}$ . Burada, ${\displaystyle \mu (\omega )}$  və ${\displaystyle n(\omega )}$  mühitin müvafiq olaraq tezlikdən asılı keçiriciliyi və qırılma əmsalı, ${\displaystyle q}$  hissəciyin elektrik yüküdür,${\displaystyle v}$  hissəciyin sürətidir və ${\displaystyle c}$  vakuumda işığın sürətidir. Çerenkov radiasiyasının flüoresan və ya emissiya spektrləri üçün xarakterik olduğu kimi xarakterik spektralları yoxdur. Daha yüksək tezliklər (daha qısa dalğa uzunluqları) Çerenkov radiasiyasında daha sıxdır. Buna görə də görünən Çerenkov radiasiyası parlaq mavi görünür. Əslində, Çerenkov radiasiyasının çoxu ultrabənövşəyi spektrdədir; insan gözünün həssaslığı spektrin yaşıl hissəsində zirvəyə çatır və spektrin bənövşəyi hissəsində çox aşağıdır.Vahid uzunluğa düşən enerjinin ümumi miqdarı: $${\displaystyle {\frac {dE}{dx}}={\frac {q^{2}}{4\pi }}\int _{v>{\frac {c}{n(\omega )}}}\mu (\omega )\omega \left(1-{\frac {c^{2}}{v^{2}n^{2}(\omega )}}\right)\,d\omega }$$  Bu inteqral tezliklər üzərində hesablanır və ${\displaystyle \omega }$  hissəcik sürəti ${\displaystyle v}$  mühitin işıq sürətindən böyükdür: ${\textstyle {\frac {c}{n(\omega )}}}$ .Yüksək tezliklərdə sınma indeksi vahiddən kiçik olur və çox yüksək tezliklərdə birləşir.^{[qeyd 1] [qeyd 2]}

Sınma indeksi ${\displaystyle x}$  oxu boyunca nisbi şəkildə hərəkət edən yüklü hissəciyi nəzərdən keçirək ${\textstyle n(\omega )={\sqrt {\varepsilon (\omega )}}}$ ^{[qeyd 3]} sabit sürətlə hərəkət edən ${\displaystyle {\vec {v}}=(v,0,0)}$ . Dalğa tənliyi Maksvell tənliklərindən (Qauss vahidlərində) başlayır və Furye çevrilməsini götürək: $${\displaystyle \left(k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )\right)\Phi ({\vec {k}},\omega )={\frac {4\pi }{\varepsilon (\omega )}}\rho ({\vec {k}},\omega )}$$  $${\displaystyle \left(k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )\right){\vec {A}}({\vec {k}},\omega )={\frac {4\pi }{c}}{\vec {J}}({\vec {k}},\omega )}$$  ${\displaystyle v}$  sürəti ilə hərəkət edən ${\displaystyle ze}$  böyüklüyündə (burada ${\displaystyle e}$  elementar yükdür) yük üçün yük sıxlığı ${\displaystyle \rho ({\vec {x}},t)=q\delta ({\vec {x}}-{\vec {v}}t)}$  and ${\displaystyle {\vec {J}}({\vec {x}},t)={\vec {v}}\rho ({\vec {x}},t)}$  kimi ifadə edilə bilər. ${\displaystyle {\vec {J}}({\vec {x}},t)={\vec {v}}\rho ({\vec {x}},t)}$ , Furye çevrilməsindən istifadə edərək ^{[qeyd 4]} $${\displaystyle \rho ({\vec {k}},\omega )={\frac {q}{2\pi }}\delta (\omega -{\vec {k}}\cdot {\vec {v}})}$$  $${\displaystyle {\vec {J}}({\vec {k}},\omega )={\vec {v}}\rho ({\vec {k}},\omega )}$$  Bu sıxlığı və yük cərəyanını dalğa tənliyində əvəz edərək, Furye şəklində potensialları tapa bilərik: $${\displaystyle \Phi ({\vec {k}},\omega )={\frac {2q}{\varepsilon (\omega )}}{\frac {\delta (\omega -{\vec {k}}\cdot {\vec {v}})}{k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )}}}$$  və $${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {k}},\omega )=\varepsilon (\omega ){\frac {\vec {v}}{c}}\Phi ({\vec {k}},\omega )}$$  Potensiallar vasitəsilə elektromaqnit sahələrinin tərifindən istifadə edərək, elektrik və maqnit sahələrinin Furye formasını əldə edirik: $${\displaystyle {\vec {E}}({\vec {k}},\omega )=i\left({\frac {\omega \varepsilon (\omega )}{c}}{\frac {\vec {v}}{c}}-{\vec {k}}\right)\Phi ({\vec {k}},\omega )}$$  və $${\displaystyle {\vec {B}}({\vec {k}},\omega )=i\varepsilon (\omega ){\vec {k}}\times {\frac {\vec {v}}{c}}\Phi ({\vec {k}},\omega )}$$  Şüalanan enerjini tapmaq üçün biz elektrik sahəsini hissəciyin trayektoriyasından bəzi perpendikulyar məsafədə tezlik funksiyası kimi nəzərdən keçiririk, məsələn, ${\displaystyle (0,b,0)}$  nöqtəsində, burada ${\displaystyle b}$  təsir parametridir. Tərs Furye çevrilməsi ilə verək: $${\displaystyle {\vec {E}}(\omega )={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int d^{3}k\,{\vec {E}}({\vec {k}},\omega )e^{ibk_{2}}}$$ 

Əvvəlcə elektrik sahəsinin ${\displaystyle x}$ -komponentini ${\displaystyle E_{1}}$  hesablayırıq: $${\displaystyle E_{1}(\omega )={\frac {2iq}{\varepsilon (\omega )(2\pi )^{3/2}}}\int d^{3}k\,e^{ibk_{2}}\left({\frac {\omega \varepsilon (\omega )v}{c^{2}}}-k_{1}\right){\frac {\delta (\omega -vk_{1})}{k^{2}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )}}}$$  ${\textstyle \lambda ^{2}={\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\varepsilon (\omega )={\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}\left(1-\beta ^{2}\varepsilon (\omega )\right)}$ 

İnteqralı ${\displaystyle k_{1},k_{2},k_{3}}$ -a bölməklə, ${\displaystyle k_{1}}$  inteqralı Dirac delta funksiyasının tərifi ilə dərhal inteqrasiya oluna bilər: $${\displaystyle E_{1}(\omega )=-{\frac {2iq\omega }{v^{2}(2\pi )^{3/2}}}\left({\frac {1}{\varepsilon (\omega )}}-\beta ^{2}\right)\int _{-\infty }^{\infty }dk_{2}\,e^{ibk_{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dk_{3}}{k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+\lambda ^{2}}}}$$ 

${\textstyle {\frac {\pi }{\left(\lambda ^{2}+k_{2}^{2}\right)^{1/2}}}}$  olarsa, alarıq ki, $${\displaystyle E_{1}(\omega )=-{\frac {iq\omega }{v^{2}{\sqrt {2\pi }}}}\left({\frac {1}{\varepsilon (\omega )}}-\beta ^{2}\right)\int _{-\infty }^{\infty }dk_{2}{\frac {e^{ibk_{2}}}{(\lambda ^{2}+k_{2}^{2})^{1/2}}}}$$  Sonuncu inteqrala diqqət yetirsək, $${\displaystyle E_{1}(\omega )=-{\frac {iq\omega }{v^{2}}}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}\left({\frac {1}{\varepsilon (\omega )}}-\beta ^{2}\right)K_{0}(\lambda b)}$$  Digər komponentlər üçün oxşar hesablama nümunəsini izləmək olar:

${\displaystyle E_{2}(\omega )={\frac {q}{v}}\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}{\frac {\lambda }{\varepsilon (\omega )}}K_{1}(\lambda b),\quad E_{3}=0\quad }$  and ${\displaystyle \quad B_{1}=B_{2}=0,\quad B_{3}(\omega )=\varepsilon (\omega )\beta E_{2}(\omega )}$ 

İndi biz hissəciyin qət etdiyi ${\displaystyle dx_{\text{zərrəcik}}}$  məsafəyə düşən ${\displaystyle dE}$  enerjisini nəzərdən keçirə bilərik. Hərəkət edən hissəciyin trayektoriyası ətrafında ${\displaystyle a}$  radiuslu sonsuz silindrin səthindən keçən ${\displaystyle P_{a}}$  elektromaqnit enerji axını ilə ifadə oluna bilər ki, bu da Poyntinq vektoru ${\displaystyle \mathbf {S} =c/(4\pi )[\mathbf {E} \times \mathbf {H} ]}$  inteqralı ilə verilir. Silindrin səthi üzərində: $${\displaystyle \left({\frac {dE}{dx_{\text{zərrəcik}}}}\right)_{\text{rad}}={\frac {1}{v}}P_{a}=-{\frac {c}{4\pi v}}\int _{-\infty }^{\infty }2\pi aB_{3}E_{1}\,dx}$$  ${\displaystyle dx=v\,dt}$  istifadə etsək, $${\displaystyle \left({\frac {dE}{dx_{\text{zərrəcik}}}}\right)_{\text{rad}}=-{\frac {ca}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }B_{3}(t)E_{1}(t)\,dt}$$  Beləliklə alarıq ki, $${\displaystyle \left({\frac {dE}{dx_{\text{zərrəcik}}}}\right)_{\text{rad}}=-ca\operatorname {Re} \left(\int _{0}^{\infty }B_{3}^{*}(\omega )E_{1}(\omega )\,d\omega \right)}$$  Çerenkov radiasiyası sahəsinə keçmək üçün biz fərz edirik ki, perpendikulyar məsafə ${\displaystyle b}$  mühitdəki atom məsafələrindən xeyli böyükdür, yəni ${\displaystyle |\lambda b|\gg 1}$ . Bu fərziyyə ilə Bessel funksiyalarını onların asimptotik formasına genişləndirə bilərik: $${\displaystyle E_{1}(\omega )\rightarrow {\frac {iq\omega }{c^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\beta ^{2}\varepsilon (\omega )}}\right){\frac {e^{-\lambda b}}{\sqrt {\lambda b}}}}$$ 

${\displaystyle E_{2}(\omega )\rightarrow {\frac {q}{v\varepsilon (\omega )}}{\sqrt {\frac {\lambda }{b}}}e^{-\lambda b}}$  and ${\displaystyle B_{3}(\omega )=\varepsilon (\omega )\beta E_{2}(\omega )}$ 

Beləliklə,

$${\displaystyle \left({\frac {dE}{dx_{\text{zərrəcik}}}}\right)_{\text{rad}}=\operatorname {Re} \left(\int _{0}^{\infty }{\frac {q^{2}}{c^{2}}}\left(-i{\sqrt {\frac {\lambda ^{*}}{\lambda }}}\right)\omega \left(1-{\frac {1}{\beta ^{2}\varepsilon (\omega )}}\right)e^{-(\lambda +\lambda ^{*})a}\,d\omega \right)}$$ 

Əgər ${\displaystyle \lambda }$  müsbət həqiqi hissəyə malikdirsə (adətən doğru), eksponensial ifadənin böyük məsafələrdə tez yox olmasına səbəb olacaq, yəni bütün enerji yolun yaxınlığında yerləşdiriləcək. Lakin, ${\displaystyle \lambda }$  sırf xəyali olduqda bu doğru deyil - bu, əvəzində eksponensialın 1-ə bərabər olmasına və sonra ${\displaystyle a}$ -dan müstəqil olmasına səbəb olur, yəni enerjinin bir hissəsi şüalanma kimi sonsuzluğa qaçır - bu, Çerenkov şüalanmasıdır. ${\displaystyle \lambda }$  xəyalidirsə, onda ${\displaystyle \varepsilon (\omega )}$  həqiqidir və ${\displaystyle \beta ^{2}\varepsilon (\omega )>1}$ 

1. ↑ Qırılma əmsalı n olan vakuumda elektromaqnit şüalanma sürətinin mühitdəki elektromaqnit dalğalarının faza sürətinə nisbəti kimi müəyyən edilir və müəyyən şəraitdə vahiddən az ola bilər. Ətraflı məlumat üçün Refraksiya göstəricisi#Refraktiv göstərici 1-in altındakı refraktiv indeks-ə baxın.
2. ↑ Qırılma əmsalı rezonans tezliyinə yaxın vahiddən kiçik ola bilər, lakin son dərəcə yüksək tezliklərdə sındırma göstəricisi vahidə bərabər olur
3. ↑ Sadəlik üçün, maqnit keçirmə qabiliyyətini nəzərə alın
4. ↑ Furye çevrilməsi üçün mühəndislik qeydindən istifadə edirik, burada ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$  amilləri həm irəli, həm də tərs çevrilmələrdə görünür.