Censen bərabərsizliyi

Riyaziyyatda Danimarka riyaziyyatçısı Yohan Censenin adını daşıyan Censen bərabərsizliyi inteqralın qabarıq funksiyasının qiymətini qabarıq funksiyanın inteqralına aid edir. O, 1906-cı ildə Censen tərəfindən ^[1] 1889-cu ildə Otto Hölder tərəfindən ikiqat diferensiallana bilən funksiyalar üçün eyni bərabərsizliyin əvvəlki sübutuna əsaslanaraq sübut edilmişdir Ümumiliyini nəzərə alaraq, bərabərsizlik bir çox formalarda baş verir, onlardan bəziləri kontekstdən asılı olaraq aşağıda təqdim olunur. Ən sadə formada bərabərsizlik ortanın qabarıq çevrilməsinin qabarıq çevrilmədən sonra tətbiq edilən ortadan kiçik və ya ona bərabər olduğunu bildirir; Konkav çevrilmələr üçün bunun əksinin doğru olması sadə bir nəticədir.. ^[2]

Censen bərabərsizliyi qabarıq funksiyanın sekant xəttinin funksiyanın qrafikindən yuxarıda olması fikrini ümumiləşdirir ki, bu da iki nöqtə üçün Censen bərabərsizliyidir: sekant xətti qabarıq funksiyanın çəkili vasitələrindən ibarətdir ( t üçün) ∈ [0,1]),

${\displaystyle f(tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}).}$

funksiyanın qrafiki çəkili vasitələrin qabarıq funksiyası olduğu halda,

${\displaystyle tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}),}$

Beləliklə, Censen bərabərsizliyi:

${\displaystyle f(tx_{1}+(1-t)x_{2}).}$

Ehtimal nəzəriyyəsi kontekstində ümumiyyətlə aşağıdakı formada ifadə edilir: əgər X təsadüfi dəyişəndirsə və φ

qabarıq funksiyadırsa, onda

${\displaystyle \varphi (\operatorname {E} [X])\leq \operatorname {E} \left[\varphi (X)\right].}$

Bərabərsizliyin iki tərəfi arasındakı fərq, ${\displaystyle \operatorname {E} \left[\varphi (X)\right]-\varphi \left(\operatorname {E} [X]\right)}$, Censen boşluğu adlanır.