Çoxluqlar nəzəriyyəsi

Hər hansı bir çoxluğu təşkil edən obyektlərə bu çoxluğun elementi deyilir. Çoxluqlar böyük hərflərlə, çoxluğun elementləri isə uyğun kiçik hərflərlə işarə olunur.

Çoxluq nəzəriyyəsində ${\displaystyle a\in A}$  münasibəti o deməkdir ki, ${\displaystyle a}$  ${\displaystyle A}$  çoxluğunun elementidir. Bunun inkarı isə ${\displaystyle a\notin A}$  kimi işarə edililirlər. Bu münasibət isə onu göstərir ki, ${\displaystyle a}$  ${\displaystyle A}$  çoxluğunun elementi deyil.

Bir çoxluq ${\displaystyle A}$  digər çoxluğun ${\displaystyle B}$  o vaxt altçoxluğu adlanır ki, ${\displaystyle A}$  çoxluğuna aid olan ixtiyari element həm də ${\displaystyle B}$  çoxluğunun elementi olsun.

${\displaystyle B}$  o zaman ${\displaystyle A}$ -nin üstçoxluğu adlanır. Formal olaraq:

$${\displaystyle {A}\subseteq {B}:\Longleftrightarrow \forall x\left({x}\in A\rightarrow x\in B\right)}$$ .

İki çoxluq o zaman bərabərdirlər ki, onlar eyni elementlərə malik olsunlar.

Bu analyış çoxluq nəzəriyyəsinin əsası hesab olunur. Formal olaraq belə ifadə olunur:

${\displaystyle A=B:\Longleftrightarrow \forall x\left(x\in A\,\leftrightarrow x\in B\right)}$ 

Tərkibində heç bir element olmayan çoxluq boş çoxluq adlanır. O ${\displaystyle \varnothing }$  və ya ${\displaystyle \{\}}$  ilə işarə olunur. Bərabərlik qanunundan alınır ki, yalnız bir nir boş çoxluq mövcuddur. Digər boş çoxluqlar elə həmin elementləri əhatə edirlər, yəni bərabərdirlər. Uyğun olaraq: ${\displaystyle \emptyset }$  və ${\displaystyle \{\emptyset \}}$  müxtəlif olurlar. Çünki sonuncu çoxluq birincidən fərqli olan elementə sahibdir. Boş çoxluq hər bir çoxluğun alt çoxluğudur. Boş çoxluğu həmçinin aşağıdakı kimi də ifadə etmək olar:

${\displaystyle \emptyset _{A}=\{x\in A\mid \forall x\notin A\}}$ 

${\displaystyle \emptyset _{A}}$  — A çoxluğunun boş alt çoxluğudur. Aşkar

A və B çoxluqlarının hər ikisinə eyni zamanda daxil olan bütün elementlərdən ibarət olan C çoxluğuna bu çoxluqların kəsişməsi deyilir:

Bir qeyri-xətti ${\displaystyle U}$  çoxluğu verilir. Bu çoxluqdan yaranmış kəsişmə çoxluğu A və B çoxluqlarına aid olan elemntlərdən təşkil olunur. Daha dəqiq desək, A və B çoxluqlarının kəsişməsindən yaranan çoxluğun elementləri, bu hər iki çoxluğun altçoxluğudur. Formal olaraq:

${\displaystyle \bigcap U:=\{x\mid \forall a\in U:x\in a\}}$ 

A və B çoxluqlarından heç olmasa birinə daxil olan bütün elementlərdən ibarət olan C çoxluğuna bu çoxluqların birləşməsi deyilir və simvolik olaraq А U В kimi işarə olunur. Başqa sözlə, A və B çoxluqlarından birləşməsi nəticəsində alınan yeni C çoxluğunda hər iki çoxluğun bütünü elementləri daxildir. Çoxluqların birləşməsini rəqəmlər çoxluqları üzərində göstərək: Fərz edək ki, A çoxluğu 1,2,3,4 rəqəmlərindən ibarətdir, B çoxluğu isə 3,4,5,6 rəqəmlərindən ibarətdir. Bu iki çoxluğun birləşməsi 1,2,3,4,5,6 rəqəmindən ibarət yeni çoxluq olacaq, çünki 3 və 4 rəqəmləri A çoxluğunda da, B çoxluğunda da var və tam olaraq həm A, həm də B çoxluğu nəticədə alınan çoxluğa daxildir. Əgər А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, onda A U B = {1,2,3,4,5,6}:A və B çoxluqlarından heç olmasa birinə daxil olan bütün elementlərdən ibarət olan C çoxluğuna bu çoxluqların birləşməsi deyilir və simvolik olaraq А U В kimi işarə olunur. Başqa sözlə, A və B çoxluqlarından birləşməsi nəticəsində alınan yeni C çoxluğunda hər iki çoxluğun bütünü elementləri daxildir. Çoxluqların birləşməsini rəqəmlər çoxluqları üzərində göstərək: Fərz edək ki, A çoxluğu 1,2,3,4 rəqəmlərindən ibarətdir, B çoxluğu isə 3,4,5,6 rəqəmlərindən ibarətdir. Bu iki çoxluğun birləşməsi 1,2,3,4,5,6 rəqəmindən ibarət yeni çoxluq olacaq, çünki 3 və 4 rəqəmləri A çoxluğunda da, B çoxluğunda da var və tam olaraq həm A, həm də B çoxluğu nəticədə alınan çoxluğa daxildir. Əgər А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, onda A U B = {1,2,3,4,5,6}:

${\textstyle \bigcap U:=\{x\mid \forall x\notin A\}}$ .

• Николя Бурбаки. Основания математики. Логика. Теория множеств // Очерки по истории математики. Элементы математики. М: Издательство иностранной литературы. Башмакова, Изабелла Григорьевна (перевод с французского). 1963. 37–53.
• Г. Кантор. Труды по теории множеств. Классики науки (3450 nüs.). М.: Наука. 1985..
• Коэн, Пол Джозеф. Об основаниях теории множеств (PDF). XXIX (Успехи математических наук). М. Манин, Юрий Иванович (перевод). 1974 [P. J. Cohen, Comments on the foundations of set theory, Proc. Sym. Pure Math. 13:1 (1971), 9–15.] 169–176.
• Куратовский, Казимир, Мостовский, Анджей. Теория множеств. М.: Мир. Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова. 1970.
• Медведев, Фёдор Андреевич. Развитие теории множеств в XIX веке (2500 nüs.). М.: Наука. 1965.
• Френкель, Адольф, И. Бар-Хиллел. Основания теории множеств. М.: Мир. Перевод с английского Ю. А. Гастева под редакцией Есенин-Вольпин, Александр Сергеевич. 1966.