Şimali Osetiya MSSR-in Orconikidze şəhərində alim ailəsində anadan olmuşdur. 1967-ci ildə "Şərq ölkələri üzrə ölkəşünaslıq, Türkiyənin tarixi" ixtisası üzrə Tbilisi Dövlət Universitetini bitirmişdir. 1970-ci ildə "İngilis dili və ədəbiyyat" ixtisası üzrə Tbilisi Xarici İnstitutunun bitirmişdir. 1971-ci ildə iqtisad elmləri namizədi dərəcəsini almışdir. 1973-cü ildən Gürcüstan SSR elmlər Akademiyasının ictimai elmlər üzrə elmi informasiya mərkəzində əvvəlcə iqtisadiyyat şöbəsinin müdiri, sonra elmi işlər mərkəzinin direktor müavini kimi çalışmışdır.

1990-cı ilin dekabrından Gürcüstan SSR mədəniyyət nazirinin müavini idi, 1991-ci ilin mart ayından isə Gürcüstan Respublikasının dövlət kino korporasiyasının prezidenti olmuşdur.

Ququşvili 1991-ci il avqustun 26-dan etibarən Tengiz Siquanın istefasından sonra baş nazir təyin edilmişdir. Hərbi çevrilişdən sonra Zviad Qamsaxurdiya ilə birlikdə sürgünə göndərildi və 1993-cü ildə sentyabr-noyabr aylarında davam edən vətəndaş müharibəsində iştirak etmişdir. Üsyanın məğlubiyyəti və Qamsaxurdiyanın ölümündən sonra Finlandiyaya qaçmışdır və orada siyasi sığınacaq almışdır.