Əliyev Sabir Hüseynəli oğlu 1928-ci il may ayının 10-da Bakıda, qaynaqçı ailəsində anadan olmuşdur. 1936-cı ildə Azərbaycan Dövlət Konservatoriyasının nəzdində fəaliyyət göstərən onillik musiqi məktəbinə daxil olmuşdur. Musiqi məktəbini müvəffəqiyyətlə bitirən Sabir Əliyev 1946-cı ildə Azərbaycan Dövlət Konservatoriyasına (indiki Bakı Musiqi Akademiyası) daxil olmuş, L.Rostropoviçin tələbəsi İsaak Turiçinin sinfində təhsil almışdır. 1951-ci ildə simli alətlər fakültəsini bitirmişdir.

İlk dəfə 1950-ci ildə Bakı Dövlət Filarmoniyasında Sabir Əliyev (violonçel), Tofiq Bakıxanov (skripka), E.Əliyeva (piano) triosu ilə çıxış etmişdir.

Təhsil aldığı ilk illər ərzində o, Sovet bəstəkarlarının klassik repertuarını müvəffəqiyyətlə mənimsəmiş, həmçinin bir çox konsert proqramlarında və Azərbaycan Dövlət Radiosunda çıxışlar etmişdir. 1950-ci ildə hələ tələbə ikən M. Rostropoviç, D. Şafran, Lesko kimi görkəmli sənətkarlarla birgə Yanoş Viqan adına Beynəlxalq müsabiqədə iştirak etmiş və Fəxri fərmana layiq görülmüşdür.

Konservatoriyanı müvəffəqiyyətlə bitirən Sabir Əliyev orada müəllim kimi saxlanılmış və eyni zamanda Bülbül adına Musiqi Məktəbinin Simli alətlər şöbəsinin müdiri kimi çalışmışdır. Müslüm Maqomayev adına ADF-nın solisti, 1955-ci ilə qədər Üzeyir Hacıbəyov adına Simfonik orkestrin konsertmeysteri, Azərbaycan Dövlət Trio və Dövlət Kvartetinin üzvü, xalq mahnı və rəqslərinin təmsilçisi, milli bəstəkarların violonçel üçün bir çox kompozisiyaların ilk ifaçısı, respublikanın ilk simli kamera kollektivinin iştirakçısı və bir neçə illər ərzində kollektivin bədii rəhbəri olmuşdur.

S.Əliyevin fəaliyyətinin digər sahəsi müəllimliklə bağlıdır. 1951-ci ildən başlayaraq ömrünün sonunadək konservatoriyada violonçel üzrə ixtisas dərslərini aparmışdır. Sabir Əliyev 1960-cı ildə "10 etüd violonçel üçün", 1966-cı ildə violonçel və fortepiano üçün "Pyeslər" əsərlərini bəstələmiş, 1968-ci ildə "Pyeslər" əsəri, 2008-ci ildə ibtidai siniflər üçün "Violonçel məktəbi" adlı dərsliyi çap olunmuşdur.

Azərbaycanda violonçel ifaçılığının əsas ənənələrinin yaradıcısı olan Sabir Əliyev 30 peşəkar violonçel ifaçısı yetişdirmişdir.

1960-cı ildə dosent, 1972-ci ildə Azərbaycan Dövlət Konservatoriyasında professor elmi rütbəsini almışdır.

Sabir Əliyev 1983-cü il oktyabr ayının 26-da Bakı şəhərində vəfat etmişdir.

• "Azərbaycan SSR xalq artisti" fəxri adı — 19 aprel 1972
• "Azərbaycan SSR əməkdar artisti" fəxri adı — 10 iyun 1959
• "Şərəf nişanı" ordeni — 14 yanvar 1967