Roll teoremi

Teorem. ${\displaystyle [a,b]}$  parçasında kəsilməz, ${\displaystyle (a,b)}$  intervalında differensiallanan ${\displaystyle y=f(x)}$  funksiyası ${\displaystyle [a,b]}$  parçasının uc nöqtələrində bərabər ${\displaystyle f(a)=f(b)}$  qiymətləri alırsa, onda ${\displaystyle (a,b)}$  intervalında yerləşən heç olmasa bir elə ${\displaystyle \gamma }$  nöqtəsi var ki, bu nöqtədə funksiyanın törəməsi sıfra bərabərdir: ${\displaystyle f'(\gamma )=0}$ .

Funksiya ${\displaystyle [a,b]}$  parçasında sabit olduqda teoremin doğruluğu aydındır. Bu halda ${\displaystyle f(x)}$ -in törəməsi ${\displaystyle (a,b)}$  intervalının bütün nöqtələrində sıfıra bərabərdir və ${\displaystyle \gamma }$  nöqtəsi olaraq istənilən nöqtəni götürmək olar.

İndi fərz edək ki, ${\displaystyle f(x)}$  funksiyası sabit deyil. O, ${\displaystyle [a,b]}$  parçasında kəsilməz olduğundan Veyerştrassın ikinci teoreminə görə özünün dəqiq aşağı ${\displaystyle m_{0}}$  və dəqiq yuxarı ${\displaystyle M_{0}}$  sərhədinin hər birini həmin parçanın heç olmasa bir nöqtəsində alır.

Sabit olmayan ${\displaystyle f(x)}$  funksiyası üçün ${\displaystyle m_{0}<M_{0}}$  olar və ${\displaystyle f(a)=f(b)}$  şərtinə görə funksiya ${\displaystyle m_{0}}$  və ${\displaystyle M_{0}}$  sərhədlərinin heç olmasa birini parçasının daxili nöqtəsində alar.

Tutaq ki, ${\displaystyle f(x)}$  funksiyası dəqiq aşağı sərhəddini daxili ${\displaystyle \gamma }$  nöqtəsində alır: ${\displaystyle f(\gamma )=m_{0},(a<\gamma <b)}$ . Onda kifayət qədər kiçik olan ixtiyarı ${\displaystyle |\Delta x|}$  üçün

${\displaystyle f(\gamma +|\Delta x|)\geq f(\gamma )}$ ,

buradan

${\displaystyle {\frac {f(\gamma +\Delta x)-f(\gamma )}{\Delta x}}\leq 0}$ , ${\displaystyle \Delta x<0}$  olduqda, ${\displaystyle (1)}$ 

${\displaystyle {\frac {f(\gamma +\Delta x)+f(\gamma )}{\Delta x}}\geq 0}$ , ${\displaystyle \Delta x>0}$  olduqda . ${\displaystyle (2)}$ 

${\displaystyle \Delta x\to 0}$  şərtində ${\displaystyle (1)}$  və ${\displaystyle (2)}$  bərabərsizliklərində limitə keçsək,

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(\gamma +\Delta x)-f(\gamma )}{\Delta x}}=f'(\gamma )\leq 0}$ , ${\displaystyle \Delta x<0}$  olduqda,

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(\gamma +\Delta x)-f(\gamma )}{\Delta x}}=f'(\gamma )\geq 0}$ , ${\displaystyle \Delta x>0}$  olduqda.

${\displaystyle f'(\gamma )\leq 0}$  və ${\displaystyle f'(\gamma )\geq 0}$  münasibətlərindən ${\displaystyle f'(\gamma )=0}$  alınır.

${\displaystyle f(x)}$  funksiyası dəqiq yuxarı sərhəddini parçanın daxili nöqtəsində aldıqda törəmənin sıfıra bərabər olduğu ${\displaystyle \gamma }$  nöqtəsinin varlığı eyni qayda ilə isbat olunur.

• Ali Riyaziyyat kursu I dərslik / Roll teoremi səh. 363; f.r.e.d. professor Rafiq Məmmədov; Maarif nəşriyyatı 1978

• Mişel Roll[1]
• Karl Vilhelm Veyerştrass[2]