Roll teoremi

Teorem. ${\displaystyle [a,b]}$ parçasında kəsilməz, ${\displaystyle (a,b)}$ intervalında differensiallanan ${\displaystyle y=f(x)}$ funksiyası ${\displaystyle [a,b]}$ parçasının uc nöqtələrində bərabər ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ qiymətləri alırsa, onda ${\displaystyle (a,b)}$ intervalında yerləşən heç olmasa bir elə ${\displaystyle \gamma }$ nöqtəsi var ki, bu nöqtədə funksiyanın törəməsi sıfra bərabərdir: ${\displaystyle f'(\gamma )=0}$.

Funksiya ${\displaystyle [a,b]}$ parçasında sabit olduqda teoremin doğruluğu aydındır. Bu halda ${\displaystyle f(x)}$-in törəməsi ${\displaystyle (a,b)}$ intervalının bütün nöqtələrində sıfıra bərabərdir və ${\displaystyle \gamma }$ nöqtəsi olaraq istənilən nöqtəni götürmək olar.

İndi fərz edək ki, ${\displaystyle f(x)}$ funksiyası sabit deyil. O, ${\displaystyle [a,b]}$ parçasında kəsilməz olduğundan Veyerştrassın ikinci teoreminə görə özünün dəqiq aşağı ${\displaystyle m_{0}}$ və dəqiq yuxarı ${\displaystyle M_{0}}$ sərhədinin hər birini həmin parçanın heç olmasa bir nöqtəsində alır.

Sabit olmayan ${\displaystyle f(x)}$ funksiyası üçün ${\displaystyle m_{0}<M_{0}}$ olar və ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ şərtinə görə funksiya ${\displaystyle m_{0}}$ və ${\displaystyle M_{0}}$ sərhədlərinin heç olmasa birini parçasının daxili nöqtəsində alar.

Tutaq ki, ${\displaystyle f(x)}$ funksiyası dəqiq aşağı sərhəddini daxili ${\displaystyle \gamma }$ nöqtəsində alır: ${\displaystyle f(\gamma )=m_{0},(a<\gamma <b)}$. Onda kifayət qədər kiçik olan ixtiyarı ${\displaystyle |\Delta x|}$ üçün

${\displaystyle f(\gamma +|\Delta x|)\geq f(\gamma )}$,

buradan

${\displaystyle {\frac {f(\gamma +\Delta x)-f(\gamma )}{\Delta x}}\leq 0}$, ${\displaystyle \Delta x<0}$ olduqda, ${\displaystyle (1)}$

${\displaystyle {\frac {f(\gamma +\Delta x)+f(\gamma )}{\Delta x}}\geq 0}$, ${\displaystyle \Delta x>0}$ olduqda . ${\displaystyle (2)}$

${\displaystyle \Delta x\to 0}$ şərtində ${\displaystyle (1)}$ və ${\displaystyle (2)}$ bərabərsizliklərində limitə keçsək,

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(\gamma +\Delta x)-f(\gamma )}{\Delta x}}=f'(\gamma )\leq 0}$, ${\displaystyle \Delta x<0}$ olduqda,

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(\gamma +\Delta x)-f(\gamma )}{\Delta x}}=f'(\gamma )\geq 0}$, ${\displaystyle \Delta x>0}$ olduqda.

${\displaystyle f'(\gamma )\leq 0}$ və ${\displaystyle f'(\gamma )\geq 0}$ münasibətlərindən ${\displaystyle f'(\gamma )=0}$ alınır.

${\displaystyle f(x)}$ funksiyası dəqiq yuxarı sərhəddini parçanın daxili nöqtəsində aldıqda törəmənin sıfıra bərabər olduğu ${\displaystyle \gamma }$ nöqtəsinin varlığı eyni qayda ilə isbat olunur.

• Ali Riyaziyyat kursu I dərslik / Roll teoremi səh. 363; f.r.e.d. professor Rafiq Məmmədov; Maarif nəşriyyatı 1978

• Milel Roll
• Karl Vilhelm Veyerştrass