Teorem. ${\displaystyle [a,b]}$   parçasında kəsilməz, ${\displaystyle (a,b)}$   intervalında differensiallanan ${\displaystyle y=f(x)}$   funksiyası ${\displaystyle [a,b]}$   parçasının uc nöqtələrində bərabər ${\displaystyle f(a)=f(b)}$   qiymətləri alırsa, onda ${\displaystyle (a,b)}$   intervalında yerləşən heç olmasa bir elə ${\displaystyle \gamma }$   nöqtəsi var ki, bu nöqtədə funksiyanın törəməsi sıfra bərabərdir: ${\displaystyle f'(\gamma )=0}$  .

Funksiya ${\displaystyle [a,b]}$   parçasında sabit olduqda teoremin doğruluğu aydındır. Bu halda ${\displaystyle f(x)}$  -in törəməsi ${\displaystyle (a,b)}$   intervalının bütün nöqtələrində sıfıra bərabərdir və ${\displaystyle \gamma }$   nöqtəsi olaraq istənilən nöqtəni götürmək olar.

İndi fərz edək ki, ${\displaystyle f(x)}$   funksiyası sabit deyil. O, ${\displaystyle [a,b]}$   parçasında kəsilməz olduğundan Veyerştrassın ikinci teoreminə görə özünün dəqiq aşağı ${\displaystyle m_{0}}$   və dəqiq yuxarı ${\displaystyle M_{0}}$   sərhədinin hər birini həmin parçanın heç olmasa bir nöqtəsində alır.

Sabit olmayan ${\displaystyle f(x)}$   funksiyası üçün ${\displaystyle m_{0}<M_{0}}$   olar və ${\displaystyle f(a)=f(b)}$   şərtinə görə funksiya ${\displaystyle m_{0}}$   və ${\displaystyle M_{0}}$   sərhədlərinin heç olmasa birini parçasının daxili nöqtəsində alar.

Tutaq ki, ${\displaystyle f(x)}$   funksiyası dəqiq aşağı sərhəddini daxili ${\displaystyle \gamma }$   nöqtəsində alır: ${\displaystyle f(\gamma )=m_{0},(a<\gamma <b)}$  . Onda kifayət qədər kiçik olan ixtiyarı ${\displaystyle |\Delta x|}$   üçün

${\displaystyle f(\gamma +|\Delta x|)\geq f(\gamma )}$  ,

buradan

${\displaystyle {\frac {f(\gamma +\Delta x)-f(\gamma )}{\Delta x}}\leq 0}$  , ${\displaystyle \Delta x<0}$   olduqda, ${\displaystyle (1)}$  

${\displaystyle {\frac {f(\gamma +\Delta x)+f(\gamma )}{\Delta x}}\geq 0}$  , ${\displaystyle \Delta x>0}$   olduqda . ${\displaystyle (2)}$  

${\displaystyle \Delta x\to 0}$   şərtində ${\displaystyle (1)}$   və ${\displaystyle (2)}$   bərabərsizliklərində limitə keçsək,

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(\gamma +\Delta x)-f(\gamma )}{\Delta x}}=f'(\gamma )\leq 0}$  , ${\displaystyle \Delta x<0}$   olduqda,

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(\gamma +\Delta x)-f(\gamma )}{\Delta x}}=f'(\gamma )\geq 0}$  , ${\displaystyle \Delta x>0}$   olduqda.

${\displaystyle f'(\gamma )\leq 0}$   və ${\displaystyle f'(\gamma )\geq 0}$   münasibətlərindən ${\displaystyle f'(\gamma )=0}$   alınır.

${\displaystyle f(x)}$   funksiyası dəqiq yuxarı sərhəddini parçanın daxili nöqtəsində aldıqda törəmənin sıfıra bərabər olduğu ${\displaystyle \gamma }$   nöqtəsinin varlığı eyni qayda ilə isbat olunur.

• Ali Riyaziyyat kursu I dərslik / Roll teoremi səh. 363; f.r.e.d. professor Rafiq Məmmədov; Maarif nəşriyyatı 1978

• Mişel Roll[1]
• Karl Vilhelm Veyerştrass[2]