Riman həndəsəsi ilk dəfə 19-cu əsrdə Bernhard Riman tərəfindən ümumiləşmiş formada irəli sürmüşdür. O, metrik xassələri nöqtədən nöqtəyə dəyişən genişhəcmli həndəsi aralıqlarla, o cümlədən qeyri-Evklid həndəsəsinin standart növləri ilə məşğul olmuşdur.

Hər bir hamar çoxobrazlı Riman metrikasını qəbul edir ki, bu da bir çox hallarda diferensial topologiya məsələlərini həll etməyə kömək edir. Həmçinin o (dörd ölçüdə) ümumi nisbilik nəzəriyyəsinin əsas obyektləri olan psevdo-Riman çoxobrazlılarının daha mürəkkəb strukturu üçün giriş səviyyəsi kimi yararlıdır. Riman həndəsəsinin digər ümumiləşdirmələrinə Finsler həndəsəsi daxildir.

Nizamlı kristallardakı qüsurların riyazi strukturu və diferensial həndəsə arasında yaxın bir analogiya var. Dislokasiyalar və disklinasiyalar burulma və əyriliklər yaradır.

Riman həndəsəsindəki ən klassik teoremlərin bir hissəsi aşağıda verilmişdir. Seçim apararkən formulyasiyanın əhəmiyyətinə və zərifliyinə diqqət yetirilir. Nəticələrin əksəriyyətini Ceff Çiqer və Devid Ebinin klassik monoqrafiyasından tapmaq olar (aşağıya baxın).

Verilmiş düsturlar çox dəqiq və ya ən ümumi olmaqdan uzaqdır. Bu siyahı artıq əsas tərifləri bilən və bu təriflərin nə ilə bağlı olduğunu bilmək istəyənlər üçün nəzərdə tutulub.

1. Qauss-Bonne teoremi. 2-ölçülü kompakt Riman çoxobrazlınında Qauss əyriliyinin inteqralı 2πχ(M)-ə bərabərdir, burada χ(M) M-in Eyler xarakteristikasını ifadə edir. Bu teorem hər hansı kompat bərabər ölçülü Riman çoxobrazlısı üçün ümumiləşməyə malikdir (bax: ümumiləşmiş Qauss-Bonne teoremi)
2. Nəşin yerləşdirmə teoremləri. Hər bir Riman çoxobrazlısının izometrik olaraq Rⁿ Evklid fəzasına yerləşdirilə biləcəyini ifadə edir.

Aşağıdakı teoremlərin hamısında fəzanın qlobal strukturu, o cümlədən çoxobrazlının topoloji tipi və ya nöqtələrin təbiəti haqqında bəzi məlumatlar əldə etmək üçün "kifayət qədər böyük" məsafələrdə fəzanın lokal xarakterli olduğunu (adətən əyrilik fərziyyəsindən istifadə etməklə tərtib edilir) qəbul edirik.

1. Sfera teoremi. Əgər M, seksiya əyriliyi 1/4 və 1 arasında ciddi şəkildə sıxışdırılmış sadə əlaqəli n-ölçülü kompakt Riman çoxobrazlısıdırsa, M sfera üçün diffeomorfdur.
2. Çiqerin sonluluq teoremi. C, D və V sabitləri nəzərə alınmaqla, seksiya əyriliyi ilə yalnız sonlu sayda (diffeomorfizmə qədər) |K| ≤ C olan, diametri D-dən böyük, həcmi V-dən kiçik olmayan n-ölçülü kompakt Riman çoxobrazlıları mövcuddur.
3. Qromovun haradasa düz olan çoxobrazlısı. Hər hansı bir ε_n > 0 üçün n-ölçülü Riman çoxobrazlısının seksiya əyriliyinə malik metrikası varsa |K| ≤ ε_n və diametri 1-dən böyük deyilsə, onun sonlu qabığı nil çoxobrazlısına diffeomorfdur.

1. Çiqer–Qromollun ruh teoremi. Əgər M qeyri-kompakt, tamamilə qeyri-mənfi n-ölçülü əyri Riman çoxobrazlısıdırsa, M normal S dəstinə diffeomorf olduqda M kompakt, tamamilə geodezik S altçoxobrazlısını özündə saxlayır (S M-in ruhu adlanır). Xüsusilə, M hər yerdə ciddi müsbət əyriliyə malikdirsə, o zaman Rⁿ-ə diffeomorfdur. Q. Perelman 1994-cü ildə Ruh Fərziyyəsi üçün heyrətamiz dərəcədə zərif/qısa bir isbat verdi: M yalnız bir nöqtədə müsbət əyriliyə malikdirsə, Rⁿ üçün diffeomorfdur.
2. Qromovun Betti ədədi teoremi. Sabit bir C = C(n) var ki, əgər M, müsbət seksiya əyriliyinə malik birləşdirilmiş kompakt n-ölçülü Riman çoxobrazlısıdırsa, onun Betti ədədlərinin cəmi ən çox C-dir.
3. Qrov–Pitersenin sonluluq teoremi. C, D və V sabitləri nəzərə alınmaqla, seksiya əyriliyi K ≥ C, diametri D-dən böyük, həcmi isə V-dən kiçik olmayan kompakt n-ölçülü Riman çoxobrazlılarının yalnız sonlu sayda homotopiya tipləri mövcuddur.

1. Kartan–Adamar teoremi qeyri-müsbət seksiya əyriliyi ilə tamamilə sadə əlaqələnmiş Riman çoxobrazlısı M istənilən nöqtədə eksponensial xəritə vasitəsilə n = dim M ilə Evklid fəzasına Rⁿ diffeomorf olduğunu ifadə edir. Bu o deməkdir ki, qeyri-müsbət seksiya əyriliyi ilə sadə formada birləşdirilmiş tam Riman çoxobrazlısının istənilən iki nöqtəsi unikal (təkrarsız) geodezik vasitəsilə birləşdirilir.
2. Mənfi seksiya əyriliyinə malik hər hansı kompakt Riman çoxobrazlısının geodezik seli erqodikdir.
3. Əgər M ciddi mənfi k sabiti ilə yuxarıdan məhdudlaşmış seksiya əyrilikli tam Riman çoxobrazlısıdırsa, o, KAT(k) fəzasıdır. Nəticə etibarı ilə onun əsas qrupu Γ = π₁(M) Qromov hiperbolikdir. Əsas qrupun strukturu üçün bunun bir çox təsiri var:

• qrup sonlu şəkildə təqdim olunur;
• Γ üçün söz məsələsinin müsbət həlli var;
• Γ qrupu sonlu virtual kohomoloji ölçüyə malikdir;
• o sonlu nizamlı elementlərin yalnız sonlu sayda cütləşmiş siniflərini ehtiva edir;
• Γ-nın abel alt qrupları faktiki olaraq siklikdir, ona görə də Z×Z-ə izomorf olan altqrup yoxdur.

1. Mayers teoremi. Əgər kompakt Riman çoxobrazlısı müsbət Riççi əyriliyinə malikdirsə, onun əsas qrupu sonludur.
2. Boxner düsturu. Əgər kompakt Riman n-çoxobrazlı mənfi olmayan Riççi əyriliyinə malikdirsə, onun ilk Betti ədədi ən çoxu n-dir, bu yalnız Riman çoxobrazlısının hamar bir torla bərabərləyində doğrudur.
3. Ayırma teoremi. Əgər tam n-ölçülü Riman çoxobrazlısı mənfi olmayan Riççi əyriliyinə və düz xəttə (yəni hər intervalda məsafəni minimuma endirən geodezik əyriyə) malikdirsə, o, həqiqi xəttin birbaşa hasilinə və tam (n-1)-ölçülü qeyri-mənfi Riççi əyriliyinə malik Riman çoxobrazlısına izometrikdir.
4. Bişop–Qromov bərabərsizliyi. Müsbət Riççi əyriliyi ilə tam n-ölçülü Riman çoxobrazlısında r radiuslu metrik şarın həcmi ən çox Evklid fəzasındakı eyni radiuslu r şarının həcminə bərabərdir.
5. Qromovun kompaktlıq teoremi. Müsbət Riççi əyriliyinə və ən çoxu D diametrinə malik bütün Riman çoxobrazlılarının dəsti Qromov-Hausdorff metrikasında əvvəlcədən kompaktdır.

1. Mənfi Riççi əyriliyinə malik kompakt Riman çoxobrazlısının izometriya qrupu diskretdir.
2. Ölçüsü n ≥ 3 olan mənfi Riççi əyrilikli istənilən hamar çoxobrazlı Riman metrikasına uyur. (Bu səthlər üçün doğru deyil.)

n-ölçülü tor müsbət skalyar əyriliyi olan metrikaya uymur.

Əgər kompakt n-ölçülü Riman çoxobrazlısının injeksiya radiusu π-dən kiçik deyilsə, orta skalyar əyrilik ən çoxu n(n-1) olur.

Kitablar

• Berger Marcel (2000), , University Lecture Series, vol. 17, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2052-4. (Provides a historical review and survey, including hundreds of references).
• Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (2008), Comparison theorems in Riemannian geometry, Providence, RI: AMS Chelsea Publishing: Revised reprint of the 1975 original.
• Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique; Lafontaine, Jacques (2004), Riemannian geometry, Universitext (3rd ed.), Berlin: Springer-Verlag.
• Jost, Jürgen (2002), Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-42627-2.
• From Riemann to Differential Geometry and Relativity (Lizhen Ji, Athanase Papadopoulos, and Sumio Yamada, Eds.) Springer, 2017, XXXIV, 647 p. ISBN 978-3-319-60039-0

Məqalələr

• Brendle, Simon; Schoen, Richard M. (2007), Classification of manifolds with weakly 1/4-pinched curvatures, arXiv: , Bibcode: ()

• by V. A. Toponogov at the Encyclopedia of Mathematics
• Weisstein, Eric W. . MathWorld.