Kubik funksiya

Cəbrdə kubik funksiya

3 həqiqi kökü olan kubik funksiyanın qrafiki (əyrinin x xətti ilə kəsişmə nöqtələrində y = 0). Funksiya f(x) = (x³ + 3x² − 6x − 8)/4.

$f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d,\,$

$f(x)=0$ olarsa, kubik funksiya

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0.\,$

Bu tənliyin həlləri $f(x)$ çoxhədlisinin kökləri adlanır Əgər $a,b,c$ və $d$ sabitləri həqiqi ədədlərdirsə, o zaman bu tənliyin ən azı bir həqiqi kökü vardır (Bu, bütün tək dərəcəli çoxhədlilər üçün doğrudur). Kubik funksiyanın bütün kökləri cəbri yolla tapıla bilər. Köklər həmçinin triqonometrik yolla da tapıla bilər. Alternativ olaraq köklər Nyuton metodunun köməyi ilə də tapıla bilər.

Sabitlər kompleks ədəd olmaya da bilər. Həllərin sabitin aid olduğu sahəyə aid olması vacib deyil. Məsələn sabitləri rasional ədədlər olan kubik funksiyaların kökləri irrasional hətta həqiqi olmayan kompleks ədələr də ola bilər.

Kub funksiyanın böhran nöqtələri və bükülmə nöqtəsi

Funksiyanın böhran (kritik) nöqtələri x`in elə qiymətləridir ki orada funksiyanın toxunanı 0`dır. f(x) = ax³ + bx² + cx + d funksiyasının böhran nöqtələri x`in elə qiymətində təyin olunur ki, o qiymətdə funksiyanın birinci törəməsi 0 olsun:

$3ax^{2}+2bx+c=0.$

Bu tənliyin həlləri kubik funksiyanın böhran nöqtələridir. Və bu düsturla tapıla bilər:

$x_{\text{critical}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-3ac}}}{3a}}.$

Kökaltı ifadə

$\Delta _{0}=b^{2}-3ac$,

funksiyanın böhran nöqtələrinin tipini müəyyən edir. Əgər

Δ₀ > 0, olarsa o zaman kubik funksiyanın lokal minimum və lokal maksimumu var deməkdir. Əgər Δ₀ = 0, olarsa deməli, funksiyanın əyilmə nöqtəsi onun yeganə böhran nöqtəsidir. Əgər Δ₀ < 0, olarsa o zaman funksiyanın böhran nöqtələri yoxdur. Δ₀ ≤ 0, olduğu hallarda isə kubik funksiya ciddi monotonik funksiyadır.

 Δ₀ `ın qiyməti kubik funksiyanın köklərinin təyin olunmasında mühüm rol olnayır.

Funksiyanın böhran nöqtəsi elə bir nöqtədir ki, o nöqtədə funksiya çökəkliyini dəyişir. Böhran nöqtəsi bu nöqtədə yaranır.

$x_{\text{inflection}}=-{\frac {b}{3a}},$

Həmçinin qiymət də kubik funksiyanı həll etmək üçün vacibdir. Kubik funksiyanın böhran nöqtəsi ətrafında simmetriya nöqtəsi var. 

Yuxarıdakılara əsasən deyə bilərik ki, əmsallar da x dəyişəni kimi həqiqi ədədlərdir.

Həqiqi əmsallı kubik funksiyanın ümumi həlli

Ümumi kubik funksiyanın forması

ax3 + bx2 + cx + d =0 

 a ≠ 0 olduqda.

Diskriminant üsulu

Funksiyanın köklərinin növü və sayı diskriminant vasitəsilə təyin olunur.

$\Delta =18abcd-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}.$

Buradan çıxır ki:

• Əgər Δ > 0, olarsa tənliyin üç fərqli həqiqi kökü var.
• Əgər Δ = 0, olarsa tənliyin təkrarlanan kökü var və bu küklər həqiqi köklərdir.
• Əgər Δ < 0, olarsa tənliyin bir həqiqi və iki kompleks kökü var

Ümumi düstur

Kubik funksiyanın ümumi həlli:

$\Delta _{0}=b^{2}-3ac{\text{,}}$

$\Delta _{1}=2b^{3}-9abc+27a^{2}d{\text{, and}}$

$C={\sqrt[{3}]{\frac {\Delta _{1}\pm {\sqrt {{\Delta _{1}}^{2}-4{\Delta _{0}}^{3}}}}{2}}}{\text{.}}$

(Əgər diskriminant Δ hesablanıbsa, o zaman bərabərlik Δ₁² − 4Δ₀³ = −27 a²Δ, C`nin həllini sadələşdirmək üçün istifadə oluna bilər) İfadədən alınan üç mümkün kök var hansı ki, onlardan ən az ikisi kompleks köklərdir.

Əmsallara uyğun ümumi düstur:

$x=-{\frac {1}{3a}}\left(b+C+{\frac {\Delta _{0}}{C}}\right){\text{.}}$

Yuxarıdakı bərabərlik 3 kökü daxil etməklə bu cür ifadə oluna bilər:

$x_{k}=-{\frac {1}{3a}}\left(b+\zeta ^{k}C+{\frac {\Delta _{0}}{\zeta ^{k}C}}\right),\qquad k\in \{0,1,2\}{\text{,}}$

Təkrarlanan köklər, Δ = 0

ƏgərΔ və Δ₀ 0`a bərabər olarsa, o zaman tənliyin 1 kökü var (hansı ki üçqat kökdür):

$-{\frac {b}{3a}}{\text{.}}$

Əgər Δ = 0 və Δ₀ ≠ 0, o zaman bu köklər ikiqat köklərdir

${\frac {9ad-bc}{2\Delta _{0}}},$

və bir sadə kök,

${\frac {4abc-9a^{2}d-b^{3}}{a\Delta _{0}}}.$