Rasional oyunçu — həll seçərkən müəyyən bir dəyəri (yaxşı) maksimuma çatdırmağa çalışır; seçilmiş qərar nəticəsində ortaya çıxan yaxşılığın riyazi gözləntisini belə bir kəmiyyət kimi istifadə etmək təbii görünür. Bununla yanaşı, təcrübə göstərir ki, real həyatda bir çox lotereya iştirakçısı daha az riyazi gözləntiləri olan, eyni zamanda daha az riskli bir həll yolu seçir. Məsələn, 0,2% (riyazi gözləmə 2 rubl) ehtimalı ilə min rubl almaq və ya 100% (riyazi gözləmə 1 rubl) ehtimalı ilə bir rubl almaq seçimi ilə qarşılaşdıqda, bir çox insan daha aşağı riyazi gözləməsinə baxmayaraq zəmanətli bir ödənişə üstünlük verəcəkdir. Bu davranışı təsvir etmək üçün gözlənilən yardım düsturu icad edilmişdir.

1947-ci ildə Con fon Neyman və Oskar Morgenşternin "Oyun nəzəriyyəsi və iqtisadi davranış" adlı kitabının ikinci nəşri gözlənilən faydalılıq nəzəriyyəsini təqdim edən ikinci nəşri olmuşdur. Yeni nəzəriyyə oyun nəzəriyyəsinə əlavə olaraq ortaya çıxdı. Oyun nəzəriyyəsinin iqtisadiyyatda tətbiq olunmasından bəhs edən kitabın giriş hissəsində müəlliflər iqtisadi nəzəriyyənin əsas müddəalarını ümumiləşdirir və malların faydalılığını qiymətləndirmək üçün yeni bir metod təklif edirlər — burada gözlənilən fayda nəzəriyyəsinin aksiomatikası təqdim edildi.

1948-ci ildə riyaziyyatçı Leonard Sevic və iqtisadçı Milton Fridmen risk münasibətləri nəzəriyyəsini inkişaf etdirdilər. İnsanları iki növə böldülər: riskə qarşı (lotereyaları, qumar oyunlarını, riskli investisiyaları sevənlər) və riskdən çəkinənlər. Riskə meylli olanlar üçün ədalətli lotereya oynamaq fürsəti etibarlı ekvivalentdən yüksək qiymətləndirilir. Risk almaqdan çəkinənlər, əksinə, lotereyada oynamaq fürsətini daha aşağı qiymətləndirirlər.

Gözlənən fayda nəzəriyyəsindəki rasional oyunçunun davranışı dörd aksiomaya əsaslanır:

• Tamlıq aksioması. Hər hansı bir nəticə${\displaystyle A}$  , ${\displaystyle B}$   ${\displaystyle A>B}$  , ${\displaystyle B>A}$   və ya ${\displaystyle A=B}$  . Yəni A və B arasında seçim edərkən oyunçu ya A seçimini etməlidir, ya da B seçimini etməlidir, ya da əhəmiyyət verməməlidir.
• Transitivlik aksioması. Əgər ${\displaystyle A>B}$   və ${\displaystyle B>C}$  , o zaman ${\displaystyle A>C}$   varsa, yəni A oyunçu B-dən yaxşı görünürsə və B C-dən yaxşı görünürsə, A onun üçün C-dən yaxşı olacaq.
• Müstəqillik aksioması. Tutaq ki, ${\displaystyle A>B}$   və ${\displaystyle p\in (0;1]}$   ehtimalı, sonra istənilən C ${\displaystyle pA+(1-p)C>pB+(1-p)C}$  . Yəni A oyunçu B-dən yaxşıdırsa, deməli üçüncü alternativ C-dən asılı olmayaraq B-nin A ilə əvəzlənməsi (eyni ehtimal p ilə) üstünlük verir. Dörd aksiomadan bu ən mübahisəlidir.
• Davamlılıq aksioması. Tutaq ki, ${\displaystyle A>B>C}$  , onda ${\displaystyle B}$   ${\displaystyle pA+(1-p)C}$  , burada ${\displaystyle p\in (0;1]}$  . Yəni oyunçu A seçimini B və B-dən çox sevirsə, C-dən daha çox, belə bir ehtimal var ki, oyunçu B-nin zəmanət alması və ya ona A seçimini yersiz ehtimal ilə B-dən daha faydalı və ya daha az faydalı C təklif edən işə etibar edib etməməsi ilə maraqlanmır. bu məqalənin əvvəlindəki nümunəyə görə, müəyyən bir p ehtimalı üçün oyunçu B məbləğində zəmanətli bir ödəniş alacağı və ya p ehtimalı ilə A (1000 rubl) qazana biləcəyi lotereyada oynayıb oynamayacağı ilə maraqlanmayacaq, amma bəlkə də heç bir şey yoxdur qazanmaq (C = 0 rubl).

Aksiomaların yerinə yetirildiyi və faydanın qatqı olduğu fərziyyəsinə görə, rasional oyunçunun üstünlükləri nisbətən sadə bir düsturla müəyyənləşdiriləcəkdir.

Risk funksiyası doğrudur, buna görə də ${\displaystyle n}$   mallar üçün von Neyman — Morqenştern yardım proqramı kimi təqdim edilə bilər.

${\displaystyle U=\sum _{i=1}^{n}p_{i}U(x_{i})}$  , burada ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}=1}$  

burada ${\displaystyle x_{i}}$   — i nəticə, ${\displaystyle U(x_{i})}$   — onun faydası

• Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. Теория игр и экономическое поведение». М.: «Наука». 1970.

• Anand P. . Oxford: Oxford University Press. 1993. ISBN 978-0-19-823303-9.
• Arrow K.J. . American Economic Review. 53. 1963: 941–73.
• Bruno de Finetti. "Probabilism: A Critical Essay on the Theory of Probability and on the Value of Science," (translation of 1931 article) in Erkenntnis, volume 31, September 1989.
• Bruno de Finetti. 1937, “La Prévision: ses lois logiques, ses sources subjectives,” Annales de l'Institut Henri Poincaré,

Bruno de Finetti. "Foresight: its Logical Laws, Its Subjective Sources," (translation of the in French) in H. E. Kyburg and H. E. Smokler (eds), Studies in Subjective Probability, New York: Wiley, 1964.

• Bruno de Finetti. Theory of Probability, (translation by AFM Smith of 1970 book) 2 volumes, New York: Wiley, 1974–5.
• . Some Reflections on Expected utility // Andrew Schotter (redaktor). . New York University Press. 1976. –70. ISBN 978-0-8147-7771-8.
• Charles Sanders Peirce and Joseph Jastrow. . Memoirs of the National Academy of Sciences. 3. 1885: 73–83.
• Pfanzagl, J. Subjective Probability Derived from the Oskar Morgenstern-John von Neumann // Martin Shubik (redaktor). . Princeton University Press. 1967. .
• Pfanzagl, J. in cooperation with V. Baumann and H. Huber. Events, Utility and Subjective Probability // . Wiley. 1968. –220.
• Scott Plous (1993) "The psychology of judgment and decision making", Chapter 7 (specifically) and 8, 9, 10, (to show paradoxes to the theory).
• Frank P. Ramsey; “Truth and Probability” (), Chapter VII in The Foundations of Mathematics and other Logical Essays (1931).
• Schoemaker PJH. . Journal of Economic Literature. 20. 1982: 529–563.
• Donald Davidson , Patrick Suppes and Sidney Siegel. Decision-Making: An Experimental Approach. Stanford University Press. 1957.