Faydalılıq funksiyası

Faydalılıq funksiyası — etibarlı alternativlər toplusunda istehlakçı seçimlərini təmsil etmək üçün istifadə edilə bilən funksiya. Funksiyanın ədədi dəyərləri istehlakçının üstünlük dərəcəsinə uyğun olaraq alternativlər sifariş etməyə kömək edir. Daha böyük dəyər daha yüksək üstünlükə uyğun gəlir. Müasir sıravi faydalılıq nəzəriyyəsində rəqəmlərin özləri əhəmiyyət kəsb etmir — yalnız ondan böyük, kiçik və bərabər olan əlaqələr vacibdir.

Hər üstünlük əlaqəsi faydalı funksiya ilə təmsil oluna bilməz. Bununla belə, iqtisadi modellərdə istifadə olunan üstünlüklər üçün belə bir funksiya mövcuddur. Funksiyanın mövcudluğu iqtisadiyyatda optimallaşdırma məsələlərinin həllində riyazi analizdən istifadə etməyə imkan verir. Məsələn, istehlakçının problemini həll edərkən . Faydalı funksiyadan istifadə etmədən belə bir problemin həlli çətinləşir.

Formal tərifi

Üstünlük münasibətinin $\{\succeq \}$ təyin olunduğu $X$ icazə verilən alternativlər toplusu verilsin. Sonra real qiymətli funksiya $u:X\to \mathbb {R}$ şərti olduqda faydalı funksiya adlanır:

$x\succsim y\iff u(x)\geq u(y),\quad x,y\in X$

Faydalı funksiyanın daha böyük dəyəri bu funksiyanın təmsil etdiyi üstünlük baxımından alternativin daha çox arzuolunanlığı deməkdir. Riyazi nöqteyi-nəzərdən faydalılıq funksiyası skalyar sıralama üsuludur.

Müasir iqtisadçılar ondan çıxış edirlər ki, faydalılıq anlayışı subyektivdir, ona görə də onların birbaşa müqayisəsi mümkün deyil. Buna görə də, Pareto səmərəliliyi konsepsiyası istehlakçıların birgə rifahını qiymətləndirmək üçün istifadə olunur. İstisna kvazi-xətti üstünlüklərdir. Onlar pulun analoqu olan sayıla bilən əmtəənin (ing. numeraire) mövcudluğunu güman edirlər. Sonra toplama və digər faydalı əməliyyatlar mümkün olur.

Faydalı funksiyanın mövcudluğu şərtləri

Üstünlüklərin faydalı funksiya kimi təqdim edilməsi üçün üstünlüklərin özünün rasional olması, yəni tamlıq və keçid aksiomalarına uyğun olması zəruridir.

Kifayət qədər şərtlər icazə verilən alternativlər dəsti $X$-ın özündən və üstünlük xassələrindən asılıdır. Əgər $X$ çoxluğu sonlu və ya hesablana biləndirsə və üstünlük əlaqəsi rasionaldırsa, o zaman həmin üstünlükləri təmsil edən faydalı funksiya var.

Əgər $X$ çoxluğu saysızdırsa, biz əlavə olaraq üstünlüklərin davamlılığını tələb etməliyik. Bu halda Debre teoremi faydalı funksiyanın mövcudluğuna zəmanət verir. Bu halda, faydalılıq funksiyası davamlıdır. Davamlılıq rasional üstünlük təşkil edən faydalı funksiyanın mövcudluğu üçün zəruri şərtdir, lakin bu kifayət deyil. Beləliklə, məsələn, $u(x)=\lbrack x\rbrack ,\,x\in \mathbb {R}$ (ədədin tam hissəsi) köməkçi funksiyası davamlı olmayan üstünlükləri təmsil edir. Funksiya özü də fasiləsizdir.

Çox vaxt müəyyən xüsusiyyətlərə malik funksiyaları əldə etmək üçün üstünlüklərə əlavə şərtlər qoyulur. Beləliklə, monotonluq, yerli doymamışlıq və qabarıqlıq tələb oluna bilər. Bu üstünlük xassələri kommunal funksiyanın xassələrində əks olunur. Məsələn, üstünlüklərin monotonluğu funksiyanın monotonluğuna gətirib çıxarır, üstünlüklərin qabarıqlığı isə funksiyanı kvazikonkav edir.

Faydalılıq funksiyasının xassələri

$g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ciddi artan funksiya, $u:X\to \mathbb {R}$ — isə köməkçi funksiya olsun. Onda $g\circ u(x)$ funksiya tərkibi də eyni üstünlük münasibətini $\succsim$ təmsil edən köməkçi funksiyadır. Qeyd edək ki, $g$ davamlı olmalıdır.