Davud Məmmədov 1991-ci lin iyununda SSRİ Çempionatının bürünc medalına sahib oldu. SSRİ-nin dağılmasından sonra isə Davud Məmmədov 1992-ci ildə Rusiya çempionu, 1993-cü ildə isə turnirin finalçısı oldu. Rusiya yığmasının əsas heyət üzvü olmadığına görə Davud Məhəmmədov 1994-cü ildə Azərbaycan yığmasının heyətinə cəlb edildi.

Davud Məhəmmədov 1994-cü ilin avqustunda İstanbul şəhərində baş tutan Dünya Çempionatının gümüş medalına sahib oldu.

1996-cı ildə isə Davud Məhəmmədov Azərbaycanı Atlanta şəhərində (ABŞ) baş tutan XXVI Yay Olimpiya Oyunlarında təmsil elədi. Davud Məhəmmədov olimpiadanın birinci görüşündə İran nümayəndəsi Abbas Cədidi ilə üz-üzə gəldi. Həmin görüşdə rəqibinə 0:4 hesabı ilə məğlub olan Davud Məhəmmədov mübarizəsini təsəlliverici qrupda davam elədi. Qrupun birinci görüşündə Davud Məhəmmədov Albaniya nümayəndəsi Şelqin Troplini üzərində 10:0 hesabı ilə inamlı qələbə qazansa da, növbəti görüşdə Dünya və Avropa çempionu Almaniya nümayədəsi Aravat Sabeyeva 1:4 hesabı ilə məğlub oldu və olimpiadanı 11-ci pillədə başa vurdu.

1997-ci ilin iyununda Polşada Avropa Çempionatını 6-cı pillənin sahibi olan Davud Məhəmmədov həmin ilin avqustunda Rusiyada Dünya Çempionatını 18-ci pillədə başa vurdu.

Davud Məhəmmədov 1998-ci ildə Almaniya Qran-Prisinin qalibi oldu. Həmin ilin sentyabrında Tehran şəhərində (İran) baş tutan Dünya Çempionatını isə 11-ci pillədə başa vurdu. 1999-cu ildə Dünya Çempionatını 11-ci pillədə başa vuran Davud Məhəmmədov 2000-ci ildə Budapeşt şəhərində Avropa Çempionatında yeddinci pillənin sahibi oldu.

Davud Məhəmmədov 2000-ci ildə Sidney şəhərində (Avstraliya) baş tutan XXVII Yay Olimpiya Oyunlarında Azərbaycanı təmsil elədi. -97 turnirində çıxış edən Davud Məhəmmədov qrup mərhələsinin birinci görüşündə Qazaxıstan nümayəndəsi İslam Bayramğov ilə üz-üzə gəldi. Həmin görüşdə Davud Məhəmmədov rəqibinə 0:4 hesabı ilə məğlub oldu. Növbəti görüşdə onun rəqibi Kuba güləşçisi Vilfredo Morales oldu. Həmin görüşdə Davud Məhəmmədov rəqibi üzərində 4:0 hesabı ilə qələbə qazandı. Qrup mərhələsinin nəticələrinə əsasən Kuba güləşçisi Vilfredo Morales növbəti mərhələyə adladı. Mübarizəsini qrup mərhələsində dayandıran Davud Məhəmmədov isə olimpiadanı 12-ci pillədə başa vurdu.

Davud Məhəmmədov 2003-cü ildə Dünya Çempionatını 22-ci pillədə başa vurduqdan sonra idmanla vidalaşdı. Karyerasını başa vurandan sonra Dağıstanda ədliyyə qərarlarının icrası xidmərinin rəis müavini vəzifəsində çalışan Davud Məhəmmədov 7 iyun 2005-ci il səhər saatlarında Mahaçqala şəhərində yaşadığı evin qarşısında güllələndi.