Bifurkasiya nəzəriyyəsi - Haqqinda Melumat

Bifurkasiya nəzəriyyəsi (ing. Bifurcation theory) — bir sistemin parametrlərindəki kiçik dəyişikliklərin onun uzunmüddətli davranışını necə dəyişə biləcəyini araşdıran riyazi sahədir. Bu nəzəriyyə qeyri-xətti dinamik sistemlərdə kritik keçid nöqtələrini müəyyənləşdirmək üçün istifadə olunur və müxtəlif elmi sahələrdə, o cümlədən fizikada, biologiyada, mühəndislikdə və iqtisadiyyatda tətbiq edilir.

Yəhər düyünlərinin bifurkasiyasını göstərən mərhələ portreti

Bifurkasiya nəzəriyyəsi qeyri-xətti sistemlərin anlaşılmasında vacib vasitədir. Kiçik dəyişikliklərin böyük nəticələrə səbəb ola biləcəyi vəziyyətləri təhlil etmək üçün istifadə olunur. Sistemlərdə sabitlik və sabit nöqtələrin dəyişməsi, real dünyadakı dinamik proseslərin proqnozlaşdırılması və idarə olunmasında əsas rol oynayır.

Bifurkasiya növləri

Süngərsəl (ing. Pitchfork) Bifurkasiya — parametr müəyyən bir kritik həddə çatdıqda, bir sabit nöqtə iki yeni sabit nöqtəyə ayrılır.
- İki növü var:
  - Sabitlik qorunan (superkritik): Yaranan yeni sabit nöqtələr sabit olur.
  - Sabitlik itən (subkritik): Yeni sabit nöqtələr sabit olmur.
Şeytan çarxı (Hopf) Bifurkasiya — sabit nöqtənin sabitliyi dəyişir və sistemdə dövr edən həllər yaranır (limit dövrələr).
Qəfil dəyişiklik (Səviyyəli) Bifurkasiya — parametrdə kiçik dəyişiklik, sistemdə ani və dramatik dəyişikliklərə səbəb olur.
Qatlanan (Fold) Bifurkasiya — iki sabit nöqtə birləşir və yox olur. Bu, sistemin sabit həllərdən qeyri-sabit həllərə keçidini ifadə edir.

Riyazi ifadə

Bifurkasiya nəzəriyyəsi adətən diferensial tənliklər və ya xətti olmayan xətti tənliklər vasitəsilə təsvir edilir. Tənlik forması:

${\frac {dx}{dt}}=\ f(x,\mu )$

Burada:

$x$ — sistem vəziyyətini təsvir edən dəyişən.
$\mu$ — sistem parametri.
$\ f(x,\mu )$ — dinamik funksiyanı təsvir edən tənlik.

Bifurkasiya baş verən nöqtələrdə $\ f(x,\mu )$ = 0 şərti təmin olunur və sabitlik analizi üçün funksiyanın törəmələri istifadə edilir.

İstinadlar

Blanchard, P.; ; Hall, G. R. Differential Equations. London: Thompson. 2006. 96–111. ISBN 978-0-495-01265-8.
Nonlinear Dynamics and Chaos. Addison-Wesley. 1994. səh. 262. ISBN 0-201-54344-3.
Gutzwiller, Martin C. Chaos in Classical and Quantum Mechanics. New York: Springer-Verlag. 1990. ISBN 978-0-387-97173-5.
Henri Poincaré. "L'Équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation". Acta Mathematica, vol.7, pp. 259-380, Sept 1885.
Luo, Dingjun. Bifurcation Theory and Methods of Dynamical Systems. World Scientific. 1997. səh. 26. ISBN 981-02-2094-4.
James P. Keener, "Infinite Period Bifurcation and Global Bifurcation Branches", SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 41, No. 1 (August, 1981), pp. 127–144.

Ədəbiyyat

Guardia, M.; Martinez-Seara, M.; Teixeira, M. A. (2011). . "Journal of differential equations", Febrer 2011, vol. 250, núm. 4, pp. 1967–2023.
Wiggins, Stephen. . New York: Springer. 1988. ISBN 978-0-387-96775-2.
Afrajmovich, V. S.; Arnold, V. I.; və b. Bifurcation Theory and Catastrophe Theory. Springer. 1994. ISBN 978-3-540-65379-0.

Xarici keçidlər

by Elmer G. Wiens
by John David Crawford

[1] Blanchard, P.; ; Hall, G. R. Differential Equations. London: Thompson. 2006. 96–111. ISBN 978-0-495-01265-8.

[2] Nonlinear Dynamics and Chaos. Addison-Wesley. 1994. səh. 262. ISBN 0-201-54344-3.

[3] Gutzwiller, Martin C. Chaos in Classical and Quantum Mechanics. New York: Springer-Verlag. 1990. ISBN 978-0-387-97173-5.

[4] Henri Poincaré. "L'Équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation". Acta Mathematica, vol.7, pp. 259-380, Sept 1885.

[5] Luo, Dingjun. Bifurcation Theory and Methods of Dynamical Systems. World Scientific. 1997. səh. 26. ISBN 981-02-2094-4.

[6] James P. Keener, "Infinite Period Bifurcation and Global Bifurcation Branches", SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 41, No. 1 (August, 1981), pp. 127–144.