Bifurkasiya nəzəriyyəsi (ing. Bifurcation theory) — bir sistemin parametrlərindəki kiçik dəyişikliklərin onun uzunmüddətli davranışını necə dəyişə biləcəyini araşdıran riyazi sahədir.[1] Bu nəzəriyyə qeyri-xətti dinamik sistemlərdə kritik keçid nöqtələrini müəyyənləşdirmək üçün istifadə olunur və müxtəlif elmi sahələrdə, o cümlədən fizikada, biologiyada, mühəndislikdə və iqtisadiyyatda tətbiq edilir.[2]
Bifurkasiya nəzəriyyəsi qeyri-xətti sistemlərin anlaşılmasında vacib vasitədir.[3] Kiçik dəyişikliklərin böyük nəticələrə səbəb ola biləcəyi vəziyyətləri təhlil etmək üçün istifadə olunur. Sistemlərdə sabitlik və sabit nöqtələrin dəyişməsi, real dünyadakı dinamik proseslərin proqnozlaşdırılması və idarə olunmasında əsas rol oynayır.[4]
- Süngərsəl (ing. Pitchfork) Bifurkasiya — parametr müəyyən bir kritik həddə çatdıqda, bir sabit nöqtə iki yeni sabit nöqtəyə ayrılır.
- İki növü var:
- Sabitlik qorunan (superkritik): Yaranan yeni sabit nöqtələr sabit olur.
- Sabitlik itən (subkritik): Yeni sabit nöqtələr sabit olmur.
- İki növü var:
- Şeytan çarxı (Hopf) Bifurkasiya — sabit nöqtənin sabitliyi dəyişir və sistemdə dövr edən həllər yaranır (limit dövrələr).
- Qəfil dəyişiklik (Səviyyəli) Bifurkasiya — parametrdə kiçik dəyişiklik, sistemdə ani və dramatik dəyişikliklərə səbəb olur.
- Qatlanan (Fold) Bifurkasiya — iki sabit nöqtə birləşir və yox olur. Bu, sistemin sabit həllərdən qeyri-sabit həllərə keçidini ifadə edir.[5]
Bifurkasiya nəzəriyyəsi adətən diferensial tənliklər və ya xətti olmayan xətti tənliklər vasitəsilə təsvir edilir. Tənlik forması:[6]
Burada:
- — sistem vəziyyətini təsvir edən dəyişən.
- — sistem parametri.
- — dinamik funksiyanı təsvir edən tənlik.
Bifurkasiya baş verən nöqtələrdə = 0 şərti təmin olunur və sabitlik analizi üçün funksiyanın törəmələri istifadə edilir.
- ↑ Blanchard, P.; Devaney, R. L.; Hall, G. R. Differential Equations. London: Thompson. 2006. 96–111. ISBN 978-0-495-01265-8.
- ↑ Strogatz, Steven H. Nonlinear Dynamics and Chaos. Addison-Wesley. 1994. səh. 262. ISBN 0-201-54344-3.
- ↑ Gutzwiller, Martin C. Chaos in Classical and Quantum Mechanics. New York: Springer-Verlag. 1990. ISBN 978-0-387-97173-5.
- ↑ Henri Poincaré. "L'Équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation". Acta Mathematica, vol.7, pp. 259-380, Sept 1885.
- ↑ Luo, Dingjun. Bifurcation Theory and Methods of Dynamical Systems. World Scientific. 1997. səh. 26. ISBN 981-02-2094-4.
- ↑ James P. Keener, "Infinite Period Bifurcation and Global Bifurcation Branches", SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 41, No. 1 (August, 1981), pp. 127–144.
- Guardia, M.; Martinez-Seara, M.; Teixeira, M. A. (2011). Generic bifurcations of low codimension of planar Filippov Systems. "Journal of differential equations", Febrer 2011, vol. 250, núm. 4, pp. 1967–2023. DOI:10.1016/j.jde.2010.11.016
- Wiggins, Stephen. Global bifurcations and Chaos: Analytical Methods. New York: Springer. 1988. ISBN 978-0-387-96775-2.
- Afrajmovich, V. S.; Arnold, V. I.; və b. Bifurcation Theory and Catastrophe Theory. Springer. 1994. ISBN 978-3-540-65379-0.
- Nonlinear dynamics
- Bifurcations and Two Dimensional Flows by Elmer G. Wiens
- Introduction to Bifurcation theory by John David Crawford