Azər Ağaqasım oğlu Qasımlı 1975-ci il martın 31-də Bakı şəhərində anadan olub. Atası Ağaqasım Qasımov geologiya üzrə elmlər namizədi, Azərbaycan Neft və Kimya İnstitutunun pedaqoqu, anası Şəfiqə Nəsrullayeva isə fioloq olub.

Azər Qasımlı 1993-cü ildə Azərbaycan Dövlət İncəsənət İnstitutunun Bədii sənaye bölməsinə daxil olmuşdur. İncəsənət adamı ola bilməyəcəyini anlayaraq bir il sonra, 1994-cü ildə Sosial İdarəetmə və Politologiya İnstitutuna imtahan vermişdir. 1998-ci ildə həm İncəsənət İnstitutundan, həm də Sosial İdarəetmə və Politologiya İnstitutundan (fərqlənmə diplomu ilə) məzun olmuşdur.

2000-ci ildə İzmirdə Egey Universitetinin Türk dili və ədəbiyyatı bölməsində bir illik proqramını tamamladıqdan sonra 2001-ci ildə İstanbulda Mərmərə Universitetinin Beynəlxalq münasibətlər və siyasi elmlər bölməsinə daxil olan Azər Qasımlı, burada Əhməd Davudoğlundan dərs almış, "Vətəndaşlığın və siyasi sığınacağın hüquqi və siyasi əsasları" mövzusunda dissertasiyanı müdafiə etmiş və nəticədə magistr dərəcəsinə yiyələnmişdir. Ardınca isə o, 2009-cu ildə M. V. Lomonosov adına Moskva Dövlət Universitetində “Azərbaycanda siyasi rejimin formalaşması” mövzusunda dissertasiya işini müdafiə etmiş və siyasət üzrə fəlsəfə doktoru (PhD) elmi dərəcəsi almışdır.

Evlidir. 3 övladı var.

İnstitutda oxuduğu illərdə Azər Qasımlı paralel olaraq Birləşmiş Ştatların Freedom House təşkilatının apardığı “Azərbaycanda siyasi ideologiyalar” layihəsində çalışmışdır. 1996-cı ildə “Azərbaycanda liberalizm və millətçilik” mövzusunda çıxan broşurların müəllifi olmuşdur.

1997-ci ildə Soros Fondunun Kiyevdə təşkil etdiyi gənc sosioloq və politoloqların konfransında iştirak edir və konfransın kitabında məqaləsi dərc olunmuşdur.

1998-ci ildə isə Azər Qasımlının müəllifi olduğu seçim texnologiyaları ilə bağlı broşurlar çap olunmuşdur. 1998-ci ildə IDEE-nin Varşavada baş tutan konfrasda iştirak edən Azər Qasımlının Polşanın “Wyborcza” qəzetində geniş müsahibəsi dərc olunmuşdur.

2008-2009-cu illərdə Azər Qasımlının Rusiyanın “Policy” jurnalında silsilə məqalələri dərc edilmişdir.

2005–2010-cu illərdə Azər Qasımlı Almaniya, Estoniya və Rusiyada biznes layihələr həyata keçirir. Ancaq Azərbaycana qayıtmaq qərarında israrlı olan Azər Qasımlı yenidən ölkəyə qayıdaraq əvvəllər maraq göstərdiyi siyasətə qatılır.

2011–2019-cu illər arası Azər Qasımlı Respublikaçı Alternativ Hərəkatı İdarə Heyətinin üzvü, Partiya Təşkilat Komitəsinin koordinatoru, Respublikaçı Alternativ Partiyasının Məclis Başqanı olub.

6 noyabr 2019-cu il tarixində Respublikaçı Alternativ Partiyasının sədri İlqar Məmmədovun partiya strukturu və idarə etməsində yürütdüyü dəyişikliklərə etiraz edərək partiya sıralarından istefa vermişdir.