Əslən Gədəbəyin Nərimankənd Kəndindəndir. Azər Bayramov 1 fevral 1970-ci ildə Bakı şəhərində anadan olub.

1990-cı ildə N. Voznesenski adına Leninqrad Maliyyə — İqtisad İnstitutunun Bakı filialını bitirərək iqtisadçı ixtisasını almışdır. 2000-ci ildə M. Rəsulzadə adına Bakı Dövlət Universitetinin "Hüquq" fakültəsini bitirmişdir.

Ailəlidir, iki övladı var.

Azərbaycanın 7-ci xarici işlər naziri Ceyhun Bayramovun qardaşıdır.

Əmək fəaliyyətinə 1990-cı ildə Maliyyə Nazirliyinin Baş Dövlət Vergi Müfəttişliyində dövlət vergi müfəttişi kimi başlamışdır.

1992―1996-cı illərdə Baş Dövlət Vergi Müfəttişliyinin "Beynəlxalq vergiqoyma", 1997―1999-cu illərdə isə "İri vergi ödəyiciləri ilə iş üzrə" idarələrinin rəisi olmuşdur.

2000―2004-cü illərdə Azərbaycan Respublikası Maliyyə Nazirliyinin Vergi Siyasəti və Gəlirlər Baş İdarəsinin rəisi vəzifəsində çalışmışdır.

2004-cü ilin fevral ayında Azərbaycan Respublikası Maliyyə nazirinin müavini vəzifəsinə təyin olunmuşdur.

Azərbaycan Respublikası Nazirlər Kabinetinin sərəncamı ilə 2004-cü ildən büdcə gəlirlərinin proqnozlaşdırılması üzrə komissiyanın sədridir.

• 6 iyun 2022-ci ildə Azərbaycan Respublikasının Prezidenti İlham Əliyev tərəfindən Azərbaycan Respublikasında dövlət qulluğunda səmərəli fəaliyyətinə görə 3-cü dərəcəli "Vətənə xidmətə görə" ordeni ilə təltif edilib