Azər Kərim oğlu Allahverənov 20 fevral 1972-ci ildə Bakı şəhərində anadan olmuşdur. 1989-cu illərdə Bakı şəhər Nəsimi rayonu 152 saylı orta məktəbdə təhsilini başa vurduqdan sonra 1990–1996-cı illərdə Kazan Dövlət Universitetinin Tarix fakültəsində ali təhsil almış, tarixçi və tarix müəllimi ixtisasına yiyələnmişdir. Bundan əlavə, 1989–1990-cı illərdə Orduya, Aviasiyaya və Donanmaya Könüllü Yardım Cəmiyyətinin Bakı məktəbində radio-lokasiya stansiyasının operatoru üzrə, 1991–1992-ci illərdə isə həmin cəmiyyətin Kazan məktəbində rabitəçi-teleqrafçı ixtisasları üzrə təhsil almışdır.

Azər Allahverənov əmək fəaliyyətinə 1989-cu ilin avqust ayında başlamışdır. 1989–1990-cı illərdə Azərbaycan SSR Dövlət Aqrar-Sənaye Komitəsinin Respublika Hesablama Mərkəzinin elektron-hesablama maşınları üzrə 3-cü dərəcəli elektro-mexaniki olmuş, 1990–1992-ci illərdə Kazan Dövlət Universitetində, sonra isə "Olimp" təmir-tikinti kooperativində çalışmışdır. 1993–1997-ci illərdə Azərbaycan Gənclər İttifaqının Nəsimi Rayon Komitəsinin təşkilat şöbəsinin müdiri seçilmiş, 1994-cü ildən bu komitənin sədr müavini olmuşdur.

Azər Allahverənov 1997–1999-cu illərdə Uşaq və Gənclərin Xeyriyyə Fondunun rəhbərlik etmiş, 1999–2001-ci illərdə Azərbaycan Gənclər İttifaqının təşkilat şöbəsinin müdiri və beynəlxalq məsələlər üzrə sədr müavini olmuşdur. Paralel olaraq 2000–2004-cü illərdə Beynəlxalq Miqrasiya Təşkilatı və "Həyat" Beynəlxalq Humanitar Təşkilatı tərəfindən təsis olunmuş Miqrasiya Resurs Mərkəzinin Məlumat Proqramının rəhbəri, 2002-ci ildən həmin mərkəzin əlaqələndiricisi olmuşdur. 2004–2005-ci illərdə "Həyat" Beynəlxalq Humanitar Təşkilatının proqramlar üzrə direktoru, 2006–2008-ci illərdə bu təşkilatın vitse-prezidenti, 2008–2019-cu illərdə isə prezidenti (2016-cı ildən "Həyat" Humanitar Dəstək İctimai Birliyinin sədri) vəzifələrində işləmişdir. 2007–2021-ci illərdə Azərbaycan Respublikası Gənclər və İdman Nazirliyinin Gənclərin Problemləri üzrə Elmi-Araşdırmalar Mərkəzinin baş elmi işçisi olmuşdur.

Azər Allahverənov 1988-ci ildən ictimai fəaliyyətlə məşğuldur və bu dövrdə müxtəlif təşkilatlarda rəhbər vəzifələrdə çalışmışdır. BMT, MDB, ABŞ, Almaniya, Danimarka və başqa beynəlxalq təşkilat və ölkələrin təşkil etdiyi forum və proqramlarda işçi qrup üzvü, ekspert, məsləhətçi və tədqiqatçı qismində iştirak etmişdir. 2015-ci ildən Dövlət Miqrasiya Xidməti yanında İctimai Şuranın sədridir. 2020-ci ildə təsis olunmuş "Avrasiya Miqrasiya Təşəbbüsləri Platforması" İctimai Birliyinin təsisçisi və sədridir. 2022-ildən Miqrasiya Siyasətinin İnkişafı üzrə Beynəlxalq Mərkəzinin Miqrasiya üzrə milli ekspert vəzifəsini icra edir.

Azərbaycan Respublikası Prezidentinin 28 aprel 2021-ci il tarixli Sərəncamı ilə Azərbaycan Respublikasının Qeyri-Hökumət Təşkilatlarına Dövlət Dəstəyi Agentliyinin Müşahidə Şurasının üzvü təsdiq edilmişdir.

2024-cü ilin sentyabr ayında keçirilmiş növbədənkənar parlament seçkilərində 29 saylı Sabunçu dördüncü seçki dairəsindən Azərbaycan Respublikası Milli Məclisinin deputatı seçilmişdir.

Ailəlidir, iki övladı var.

Azər Allahverənov 1997–2002-ci illərdə Bakı şəhərində bir sıra ali təhsil müəssisələrində baş müəllim kimi fəaliyyət göstərmiş, o cümlədən 1999–2001-ci illərdə Odlar Yurdu Universitetində Sosial və ictimai fənlər kafedrasının müdir müavini və baş müəllimi olmuş, universitetin Tələbə Elmi Cəmiyyətinə rəhbərlik etmişdir. O həmçinin Beynəlxalq Miqrasiya Təşkilatı, BMT, Avropa İttifaqı və digər beynəlxalq təşkilatların təşkilatçılığı ilə keçirilmiş çox sayda elmi-praktiki və beynəlxalq konfranslarda, seminar və təlimlərdə məruzəçi qismində iştirak etmişdir.

Azər Allahverənov 2002-ci ildə "Vətəndaş cəmiyyətinin qərarlaşmasında ictimai sektorun inkişafı vacib amildir (sosial-fəlsəfi təhlil)" mövzusunda dissertasiya işini müdafiə etmiş və 2004-cü ildə sosial fəlsəfə üzrə fəlsəfə doktoru elmi dərəcəsinə layiq görülmüşdür. Azərbaycanda və xarici ölkələrdə nəşr edilmiş və əsasən, sosial və humanitar, miqrasiya mövzularında yazılmış 50-ə yaxın artıq elmi məqalənin və publisistik yazının, o cümlədən bir sıra kitab, tədqiqat və metodik tövsiyələrin müəllifidir.

• "Azərbaycan Respublikası Dövlət Miqrasiya Xidmətinin 10 illiyi (2007–2017)" yubiley medalı — 24 may 2017
• "Miqrasiya orqanları ilə səmərəli əməkdaşlığa görə" medalı — 11 mart 2019
• "Tərəqqi" medalı — 17 mart 2021
• Türk Milli Polisinin və Türk Polis Tədqiqatları İnstitutunun Fəxri Fərmanı — 16 iyun 2007
• Dövlət Miqrasiya Xidmətinin fəxri fərmanları — 21 iyun 2019, 29 iyul 2021