Arzu Ələsgərov 17 mart 1945-ci ildə Bakı şəhərində Azərbaycan Respublikasının xalq artisti Süleyman Ələsgərovun ailəsində anadan olub. 1951-ci ildə (A. A. Kələntərin sinfi) daxil olub. 1963-cü ildə Azərbaycan Dövlət Konservatoriyasına (M. R. Brennerin sinfi). 1968-ci ildə Azərbaycan Dövlət Konservatoriyasını bitirib. 1969-cu ilin yanvar ayından 1970-ci ilin sentyabr ayına kimi Pyotr Çaykovski adına Moskva Dövlət Konservatoriyasının stajoru olmuşdur (rəhbər professor Y. İ. Milşteyn). 1970–1972-ci illərdə Ü. Hacıbəyli adına Azərbaycan Dövlət Konservatoriyasının aspirantı olub. Dəfələrlə xarici ölkələrdə konsert proqramları ilə çıxış etmişdir (Almaniya, Polşa (1972), Seneqal, Nigeriya (1973), Ukrayna (1978), Özbəkistan (1980)).

1968-ci ildən Ü. Hacıbəyli adına Azərbaycan Dövlət Konservatoriyasında assistent vəzifəsində çalışmağa başlayıb (M. R. Brennerin assistenti).

1970-ci ildən Bakı Musiqi Akademiyasının fortepiano kafedrasında müəllim vəzifəsində çalışmağa başlayıb. 1976-cı ildən Bakı Musiqi Akademiyasının "İxtisas fortepiano" kafedrasında baş müəllim vəzifəsində çalışmağa başlayıb. 1981–1984-cü illərdə SSRİ Mədəniyyət Nazirliyinin xətti ilə Suriyanın Aleppo şəhərində işləmişdir. 1988-ci ildə Dosent, 1994-cü ildə Professor elmi adına layiq görülüb.1996-cı ildə Qahirə Konservatoriyasına dəvət olunmuşdur. Orada dəfələrlə konsertlərdə tanınmış ifaçılarla çıxış edib. 2014-cü ildən bu günə kimi Üzeyir Hacıbəyli adına Bakı Musiqi Akademiyasında çalışır.

1962-ci ildə "Parla bizim Azərbaycan" adlı müsabiqədə II-ci yerin sahibi olub. 1970-ci ildə Moskvada Üzeyir Hacıbəyli adına Azərbaycan Dövlət Simfonik Orlestrı ilə P. İ. Çaykovskinin I ci konsertini ifa edib. 1970-ci ilin sentyabr ayında Buxarest şəhərində Ç. Enesku adına beynəlxalq müsabiqədə iştirak edib.

• 1989-cu ildə Azərbaycan Respublikasının Əməkdar artisti fəxri adına layiq görülüb.

Azərbaycan Respublikasının Prezidenti İlham Əliyevin 2014-cü il tarixli sərəncamına Əsasən Arzu Süleyman oğlu Ələsgərova Prezidentin fərdi təqaüdü verilib.

• Azərbaycan Respublikasının Prezidenti İlham Əliyevin 2021-ci il tarixli sərəncamına əsasən Bakı Musiqi Akademiyasının 100 illik yubeleyi ilə əlaqədar musiqi sənətində uzunmüddətli səmərəli fəaliyyətinə görə, "Tərəqqi" medalı ilə təltif edilmişdir.