Anri Puankare 29 aprel 1854-cü il tarixində Nansi yaxınlığında adlanan yerdə (Lotaringiya, Fransa) anadan olmuşdur. Atası Leon Puankare tibb professoru olmuşdur. Anası Yevgeniya Lanua bütün boş vaxtını uşaqlarının - oğlu Anri və qızı Alinanın tərbiyəsinə həsr edirdi.

Uşaqlıq illərində Anri biliklərinin qrafik möhkəmləndirilməsində əziyyət çəkən huşsuz və diqqətsizliyi ilə ad qazanır. Sonralar bu xüsusiyyəyti onda qeyri-adi hal alaraq alim Puankarenin yetişməsində müstəsnə rol oynayacaqdı. Uşaqlığında Anri difteriyaya yoluxur. Xəstəlik bir neçə ay davam edir və bu müddətdə uşaq nə gəzə, nə də danışa bilir. Xəstəlik müddətində Anridə dinləmə qabiliyyəti güclü şəkildə inkişaf edir və ələlxüsus onda çox qeyri-adi xüsusiyyət təzahür edir – ömrünün sonuna qədər qalacaq səslərə qarşı işıq həssaslığı yaranmağa başlayır.

Yaxşı ev hazırlığı Anriyə səkkiz yaş yarımında litseyin birbaşa ikinci sinfinə daxil olmağa imkan verir. Burada onu çalışqan və öyrənməyə hədsiz həvəsi olan şagird kimi tanıyırlar. Bu illərdə onun riyaziyyata qarşı münasibəti orta səviyyədə idi – bir qədər sonra o ədəbiyyat bölməsinə keçir. 5 avqust 1871-ci ildə Puankare ədəbiyyatdan "yaxşı" qiyməti ilə bakalavr dərəcəsi alır. Bir neçə gün sonra isə Anri təbiət elmləri üzrə bakalavr dərəcəsinə keçirilən imtahanlarda iştirak etmək istəyini bildirir. Lakin imtahanlardan yalnız "kafi" qiyməti alır. Riyaziyyatdan yazılı imtahandan isə kəsilir. Səbəb isə adi fikir dağınıqlığı idi. Növbəti illərdə Puankarenin riyazi istedadı özünü qeyri-adi dərəcədə büruzə verməyə başlayır. 1873-cü ilin oktyabrında o Politexnik məktəbin tələbəsi olur. Daha sonra o dövrdə daha nüfuzlu Dağ-mədən məktəbinə daxil olur. Məhz burada o bir neçə il sonra doktorluq dissertasiyasını müdafiə edir. Müdafiə komissiyasına daxil olan Qaston Darbu həmin günü belə xatırlayır: "Elə ilk baxışdanca məlum oldu ki, iş adi çərçivələrdən kənara çıxır və qəbul olunmağa tam layiq idi. Puankarenin işi özündən sonra bir çox yaxşı işlərə yol aça biləcək qədər əhəmiyyətə malik idi".

Doktor dərəcəsini alan Puankare Kannda (Normandiya) pedaqoji fəaliyyətə başlayır və eyni zamanda özünün ilk ciddi əsərlərini yazmağa başlayır. Puankarenin bu işləri avtomorf funksiyalar anlayışına həsr olunur və dərhal Avropa riyaziyyatçılarının diqqətini cəlb edir. Məhz Kanndaca o gələcək həyat yoldaşı Polen d`Andesi ilə tanış olur. 20 aprel 1881-ci il tarixində cütlük nikah bağlayır.

1881-ci ilin oktyabrında Puankare Paris Universitetindən təklif alır. 1886-cı ilin payızında Puankareyə Paris Universitetinin Riyazi fizika və ehtimallar nəzəriyyəsi kafedrasının rəhbərliyi həvalə olunur, 1887-ci ilin yanvarında isə onu Fransa Elmlər Akademiyasına üzv seçirlər. Puankare Parisdə differensial tənliklər, fəza mexanikası, topologiyaya dair fundamental əsərlərini yazır.

1887-ci ildə İsveç kralı II Oskar riyazi müsabiqə təşkil edərək riyaziyyatçılardan Günəş sisteminin cisimlərinin hərəkətini hesablamağı tələb etdikdə Puankare bu tapşırığın (üç cisim tapşırığı) yekun həllinin olmadığını bildirir. 1906-cı ildən etibarən isə Fransa Elmlər Akademiyasınn prezidenti kimi fəaliyyət göstətirir.

Anri Puankare 17 iyul 1912-ci ildə vəfat etmiş və Parisdə dəfn edilmişdir.

Puankarenin riyazi fəaliyyəti çoxşaxəli olmuşdur. Otuz illik gərgin elmi fəaliyyəti sayəsində demək olar ki, riyaziyyatın bütün sahələri üzrə fundamental əsərlər yazmışdır.

Puankarenin Paris Akademiyası tərəfindən 1916-1954-cü illər aralığnda nəşr olunmuş əsərləri 10 cild təşkil edir. Bu əsərlər topologiya, ehtimal nəzəriyyəsi, differensial tənliklər nəzəriyyəsi, avtomorf funksiyalar nəzəriyyəsi, qeyri-Evklid həndəsəsini əhatə edir. Puankare riyazi fizika metodlarından geniş istifadə etmiş və potensiallar nəzəriyyəsi, istilik keçiriciliyi nəzəriyyəsini zənginləşdirmişdir. O, həmçinin mexanika və astronomiyaya dair bir sıra məsələlərin həlli ilə də məşğul olmuşdur. Differensial tənliklər sisteminin xüsusi nöqtələrinə həsr olunmuş doktorluq dissertasiyasının müdafiəsindən sonra Puankare "Differensial tənliklərlə təyin olunan əyrilər haqqında" adı altında memuarlar silsiləsi yazır. Burada o differensial tənliklərin keyfiyyət nəzəriyyəsini hazırlamış, xüsusi nöqtələri təsnifatlaşdırmaq üçün inteqral əyrilərinin müstəvilərdə hərəkəti xarakterini və limit silsilələrini tədqiq etmişdir. Puankare öz tədqiqatlarının nəticələrindən üç cisim məsələsinin həllində uğurla istifadə etmişdir. Məsələnin həllinin xarakterini (dövriliyini, asimptotluğunu) detallı tədqiq etmişdir. Sabit nöqtələrin kiçik parametri, variasiyalar üzrə tənliklər, inteqral invariantlar nəzəriyyəsi Puankare tərəfindən elmə daxil edilmişdir.