Anna Apostolaki 1880-ci ildə o vaxtlar Osmanlı imperiyasının, indi isə Yunanıstanın bir hissəsi olan Krit adasında, Retimno vilayətində Marqarit şəhərində anadan olub. Atası əslən Elefterna şəhərindəndir. Osmanlı hakimiyyətinə qarşı yerli üsyanlar ailəsinin Pireyə, oradan da Afinaya qaçmasına səbəb olmuşdu. O, "Təhsilin Dostları Cəmiyyəti" tərəfindən idarə olunan "Arsakion" adlı qız məktəbində oxumuş və 1899-cu ildə müəllim kimi məzun olmuşdu. Müəllimlik həmin illərdə qadınların yiyələnə biləcəyi bir neçə peşədən biri idi.

Apostolaki karyerasına müəllim kimi başlamış və öz təhsil hədəflərini reallaşdırmağa çalışarkən digər tələbələrə repetitorluq etmişdir. 1903-cü ildə Afina Universitetinin Fəlsəfə fakültəsinə daxil olan Anna eyni zamanda Afina Numizmatika Muzeyində İoannis Svoronosun köməkçisi kimi işləməyə başladı. Svoronos ona mentorluq edir, Annanın elmi araşdırmalara bağlılığını gücləndirməyə çalışırdı. Anna Svoronosun rəhbərliyi altında 1906-cı ildə Afina Arxeologiya Cəmiyyətinə qəbul edilən, beləliklə də peşəkar arxeoloq işləyən ilk yunan qadın oldu. 1909-cu ildə o, Afina Universitetini bitirən ilk on qadından biri, Kritdən isə dərəcə qazanan ilk qadın idi. Apostolakinin də daimi müəllifi olduğu "Ladies' Gazette" kimi qadın qəzetlərindəki başlıqlar Annanın doktorluq dərəcəsini bitirməsi haqqında aşağıdakı şəkildə xəbər yaymışdılar: "Qadınlar qalib gəlir. Yunan dünyasında dünəndən etibarən yeni bir qadın həkim var…" Elə həmin il o, Nikolaos Politis tərəfindən qurulan Yunanıstan Folklor Cəmiyyətinə qoşulan ilk qadın oldu və folklor mədəniyyəti haqqında mühazirələr oxumağa başladı.

XX əsrin birinci yarısında baş verən qarışıqlıq və Birinci Dünya müharibəsi bir çox tarixi məkanları təhlükə altında qoymuşdu. Bu ərazilərin dağılmasından və qorunub saxlanmasından narahat olan Apostolaki Xristian Arxeologiya Cəmiyyətinə qoşuldu və onun ilk üzvlərindən biri oldu. O, həmçinin 1911-ci ildə yunan feministi Kalliroi Parren tərəfindən əsası qoyulan Yunanıstan Qadınlarının Lisey Klubunun İdarə Heyətinin təsisçi üzvü kimi elə həmin il Knos sarayı haqqında klub üzvlərinə mühazirə oxudu. Hələ repetitorluq etdiyi müddətdə o, Milli Geyimlər Departamentində məsləhətçi kimi də vəzifələrini yerinə yetirirdi. Bu vəzifədə o, milli adət-ənənələrin qorunmasına dair məlumatların yayılması ilə məşğul idi, ki bu da ona şair Georgios Drosinis və arxeoloq Georgios Kuruniotis kimi mədəni irsin qorunması ilə yaxından maraqlanan şəxslərlə əlaqə qurmağa imkan vermişdi. Bu kimi ziyalılar müasir mədəni təcrübələri qədim yunan mədəniyyəti ilə əlaqələndirərək, həmçinin qədim, orta əsrlər və müasir dövrə aid artefaktların arxeoloji qeydlərini qiymətləndirərək və müqayisə edərək milli qürur hissini yüksəltməyə çalışırdılar. Apostolaki məxsusi olaraq Angeliki Hacimixali, Eleni Evklid və Lusiya Ziqomala kimi digər qadınlarla birlikdə qadın sənətkarlıq məhsullarını toplamaq və nümayiş etdirməklə qadınların cəmiyyətdə iştirakını daha görünən etməkdə maraqlı idi.

O dövrdə Yunanıstanda qadın klubları yoxsullar və qaçqınlar üçün regional məktəblər quran varlı şəhərlilər tərəfindən təşkil edilirdi. Bu məktəblərin bir hissəsi qızlara sənətkarlığın öyrədilməsinə yönəlmişdi. Apostolaki bu klublarla məşğul olurdu və Bizans dövründən həmin günədək bədii motivlərin davamlı istifadəsini göstərən müxtəlif naxışlara maraq göstərirdi. O, diqqəti yunanların sənətkarlıq və tekstil sənətinə verdiyi töhfələrə yönəltmək və yunan dizaynını xarici elementlərlə əvəz edən moda meyllərindən uzaqlaşmaq məqsədilə Lisey Klubu ilə layihələr üzərində işləyirdi. Anna toxuculuq məmulatları və krujeva toplayaraq klub üçün 1921, 1922 və 1924-cü illərdə üç sərginin təşkil edilməsinə kömək etmişdi.

Türkiyə–Yunanıstan müharibəsi başa çatdıqdan sonra Yunan Sənətkarlıq Muzeyinin İdarə Heyətinin üzvü olan Drossinis muzeyin Milli Dekorativ Sənət Muzeyi kimi yenidən təşkilinə kömək etdi. O, 1923-cü ildə Apostolakini köməkçisi kimi işə götürdü, beləliklə də Anna Yunanıstan Arxeologiya Xidmətinə qoşulan dördüncü qadın oldu. Anna öz işinə əvvəlcə bütün parçaları əl ilə yuyub güvələri çıxararaq IV əsrdən VII əsrə qədər toxunmuş parçalardan ibarət olan tekstil kolleksiyasını kataloqlaşdırmaqla başladı. Daha sonra o, naxış nümunələri, habelə geyimlər toplamaq üçün qatırla Kritin ucqar kəndlərinə və başqa yerlərə gedərək həm müasir, həm də qədim arxeoloji sənətkarlıq əsərlərini əldə etməyə çalışdı. Apostolaki 1925-ci ildə Qadınların Kiçik Antantasının iclasının bir hissəsi olaraq Lisey Klubuna yunan tekstillərindən ibarət bir sərgi hazırlamaqda kömək etdi. 1926-cı ildə o, muzeyin kuratoru təyin olundu və həmin il Lisey Klubunun Panatinaikos stadionunda təşkil etdiyi üç günlük mədəniyyət festivalı üçün liseyin gənc üzvləri tərəfindən geyilən Minoan geyimlərinin nümayişini təşkil etdi. 1927-ci ildə Apostolaki Lisey Klubu üçün sərgi təşkil etdi; onun potensial sərgi iştirakçılarına dəvəti yunan mövzulu sərginin əhəmiyyətini vurğulamış və təqdimatların muncuq işi, musiqi alətləri, dulusçuluq, taxta artefakt və toxuculuqdan ibarət ola biləcəyini qeyd etmişdi.

Apostolaki 1958-ci ilin yayında vəfat etdi və yunan tekstilinin tarixini qiymətləndirən və təsnif edən ilk alimlərdən biri, eləcə də qadınları maarifləndirmək və qadın sənətkarlığını təbliğ etmək üçün çalışan feminist kimi yadda qaldı. 2015-ci ildə Retimno Milli Kitabxanası Yunanıstan Qadınlarının Lisey Klubu və Benaki Muzeyi ilə birlikdə Apostolaki və onun əsərləri ilə bağlı seminar keçirdi və eyni zamanda onlardan bəzilərini sərgilədi. Seminarın məqsədi Apostolakinin tanınmasını artırmaq və onun Krit tikmələri üzrə əlyazmasını nəşr etmək üçün vəsait toplamaq idi.