Ağaverdi Yarəli oğlu Rəhimov 1895-ci ildə Bakı qəzasının Balaxanı kəndində fəhlə ailəsində anadan olmuşdur. İbtidai təhsilini kənd məktəbində almış, gimnaziyanı bitirərək Kiyev Universitetinin Tibb fakültəsinə daxil olmuşdur. O, burada qeyri-qanuni tələbə təşkilatlarının işində fəal iştirak etmiş, tələbə çıxışlarının təşkilatçılarından olmuşdur. Tələbə həyəcanları ilə əlaqədar olaraq 1918-ci ildə Kiyev Universitetində dərslər kəsildikdən sonra Ağaverdi Rəhimov da Bakıya qayıtmışdır.

1918-ci ildə Ağaverdi Rəhimov bolşevik Hümmət Partiyasının Balaxanı şöbəsinin sədri, mart ayında Balaxanı Kənd Deputatlar Sovetinin üzvü, sanitariya komissiyasının sədri seçilmişdir. Həmin ilin yayında Bakı Kommunasının süqutundan sonra o, gizli şəraitdə işləməyə başlayaraq 1919-cu ilin dekabr ayında bolşeviklər partiyasına daxil olmuş, partiyanın Balaxanı bölməsinin sədri olmuşdur.

Azərbaycanda sovet hakimiyyətinin qurulmasından sonra Ağaverdi Rəhimov Balaxanıda partiya və həmkarlar ittifaqı işində çalışmış, Balaxanı-Sabunçu Rayon Sovetinin və Bakı Sovetinin üzvü, Azərbaycan K(b)P Balaxanı Yarımrayon Komitəsinin kətibi seçilmişdir. 1921–1922-ci illərdə Azərbaycan K(b)P Bakı Komitəsinin təşkilat şöbəsinin müdiri və katibin müavini vəzifələrində çalışmışdır. Sonra isə Balaxanı-Sabunçu Rayon İcraiyyə Komitəsinin sədri, Salyan Qəza İcraiyyə Komitəsinin sədri, Azərbaycan K(b)P Zavağzal Rayon Komitəsi və Şəhər Rayon Komitəsi təşkilat şöbəsinin müdiri olmuşdur.

Ağaverdi Rəhimov sonrakı illərdə Zaqatala Qəza İcraiyyə İcraiyyə Komitəsinin sədri, Azərbaycan K(b)P Ağdaş Qəza Komitəsinin katibi və Naxçıvan Vilayət Komitəsinin katibi vəzifələrində işləmişdir. O, dəfələrlə Azərbaycan SSR Mərkəzi İcraiyyə Komitəsinin, Zaqafqaziya Mərkəzi İcraiyyə Komitəsinin, eləcə də 1923-cü ildən Azərbaycan K(b)P Mərkəzi Komitəsinin üzvü seçilmişdir.

Ağaverdi Rəhimov ömrünün sonlarına yaxın L. Beriya adına Bakı ət kominatı zavodunda direktor müavini işləmişdir. O, 29 avqust 1936-cı ildə vəfat etmişdir.