Dövri kəsrlərdən

Hər rasional ifadə sonlu sayda rəqəm ehtiva edən onluq ədədlərlə ifadə edilə bilməz. Məsələn;

${\displaystyle {\frac {5}{9}}=0,(5)}$  

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=0,(3)}$   kimi.

Əgər ikinci bərabərliyin hər iki tərəfini 3-ə vursaq:

${\displaystyle {\frac {3}{3}}=3\times 0,{\bar {3}}}$  

${\displaystyle 1=0,(9)}$   bərabərliyini alarıq.

Dörd əməliyyatdan

${\displaystyle 0.(9)}$   ədədini riyaziyyat dilində məchul ifadələrə verilən ${\displaystyle x}$   ilə əvəzləyək.

${\displaystyle x=0,(9)}$  

Hər iki tərəfi 10-a vuraq.

${\displaystyle 10x=9,(9)}$  

Hər iki tərəfdən ədədin özünü, yəni ${\displaystyle x}$  -i çıxaq.

${\displaystyle 9x=10x-x=9,(9)-0,(9)=9}$  

Sadələşdirək.

${\displaystyle x=1}$  

Limitdən

Ədədimizi limit dilində ifadə ədək:

${\displaystyle 0.999\ldots =\lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\ldots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)}$  

${\displaystyle n}$   sonsuza yaxınlaşarkən ${\displaystyle {\frac {1}{10^{n}}}}$   ifadəsi ${\displaystyle 0}$  -a bərabərdir. Buradan alınır ki;

${\displaystyle =1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1\,}$   dir.

Sonsuz ardıcıllıqlardan

Teorem:${\displaystyle |r|<1}$   və ${\displaystyle a}$   sabit ədəddir və ${\displaystyle ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}}}$  -dir.

Ümumi termini ${\displaystyle r=\textstyle {\frac {1}{10}}}$   və sabit ədədi ${\displaystyle 9}$   olan ardıcıllıq ${\displaystyle 0.(9)}$  -dur. Teoremimizi ədədimizə tətbiq etsək

${\displaystyle 0.999\ldots =9({\tfrac {1}{10}})+9({\tfrac {1}{10}})^{2}+9({\tfrac {1}{10}})^{3}+\cdots ={\frac {9({\tfrac {1}{10}})}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1}$   olduğunu görə bilərik.