Əgər, uyğun olaraq ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3})}$   , ${\displaystyle (b_{1},b_{2},b_{3})}$   koordinatlarına malik ${\displaystyle A}$   və ${\displaystyle B}$   nöqtələri verilmiş ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$   aiddrsə, onda bu koordinatlar arasındakı ${\displaystyle AB}$   parçasının uzunluğu Pifaqor teoreminə görə hesablanır:

${\displaystyle |AB|={\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+(a_{3}-b_{3})^{2}}}}$  

Müstəvi üzərində və ya fəzada yol iki və ya üç koordinat funksiyası ilə verilir:

${\displaystyle t\mapsto (x(t),y(t))}$   uyğun olaraq ${\displaystyle t\mapsto (x(t),y(t),z(t))}$  , ${\displaystyle a\leq t\leq b}$   şərti daxilində.

Hissə-hissə kəsilməyən yolun uzunluğu onun vektorunun inteqrallanması ilə əldə edilir:

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {{\dot {x}}(t)^{2}+{\dot {y}}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t}$   uyğun olaraq ${\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {{\dot {x}}(t)^{2}+{\dot {y}}(t)^{2}+{\dot {z}}(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t.}$  

Müstəvidə verilmiş yol polyar koordinat sistemnində ${\displaystyle r(\varphi )}$   şəklind təyin olunmuşsa, onda

${\displaystyle \varphi _{0}\leq \varphi \leq \varphi _{1}}$   üçün ${\displaystyle \varphi \mapsto (r(\varphi )\cos \varphi ,r(\varphi )\sin \varphi )}$  

hasil qaydasından alınır

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varphi }}=r^{\prime }(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }$   və

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \varphi }}=r^{\prime }(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }$  , bununla

${\displaystyle \left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} \varphi }}\right)^{2}+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} \varphi }}\right)^{2}=\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}$  .

Buradan polyar koordinat siistemondə yolun uzunluğu belə tapılır:

${\displaystyle L=\int _{\varphi _{0}}^{\varphi _{1}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}}\,\mathrm {d} \varphi }$  .

Uzunluq (Fizika)

Uzunluq (Cəbr)