Ənvər Məmmədov 1914-cü ildə Şəki şəhərində, ziyalı ailəsində anadan olub. Atası Hacı Həkim, 1862-ci ildə Ərəbistan yarımadasında anadan olub, milliyətcə ərəb olub. 1898-ci ildə Şəki şəhərinə köçüb, Cənubi Qafqazda tanınmış həkim olub, burada taun və tif viruslarına qarşı mübarizə aparıb. Anası Zəhra Məmmədova milliyətcə azərbaycanlı olub.

3 yaşında Ənvər Məmmədovun atası vəfat edib. Bundan sonra o, bacısı Əzizə ilə birlikdə internat məktəbdə böyüyür. Burada anasının "Məmmədov" soyadını götürür. Daha sonradan Bakı şəhərinə köçür. 1931-ci ildə K. Marks adına Xalq Təsərrüfatı İnstitutunda (hazırkı İqtisad Universitetində) təhsil almağa başlayıb. 1936-cı ildə universitetin maliyyə-iqtisad fakültəsini bitirib.

Ali təhsilini aldıqdan sonra Ənvər Məmmədov, Moskva və Bakı şəhərlərində, Dövlət Nəzarət Komissiyasında iqtisadçı kimi işləməyə başlayıb. Daha sonra Azərbaycan SSR Xalq Bankının (hazırkı Mərkəzi Bankın) şöbə rəhbəri vəzifəsinə çalışıb. 1950-ci ildə Ənvər Məmmədov Azərbaycan Xalq Bankının direktoru vəzifəsinə təyin edilib. Sonrakı illərdə, o, Dövlət İqtisad texnikumunin direktoru vəzifəsində çalışıb. Həyatının son illərində Oktyabr rayonunun (hazırkı Yasamal rayonunun) maliyyə komitəsində çalışıb. 1969-cu ildə Ənvər Məmmədov xərçəng xəstəliyindən vəfat edib. Yasamal rayon qəbirstanlığında dəfn olunub.

Hacı Həkimin oğludur.

Atası Hacı Həkim, anası Zəhra Məmmədova. Qardaşları Fərrux və Əhməd Məmmədovlar, bacıları Zəhra və Zərifə Məmmədovalar. 1944-cü ildə Nazan Nəcəfova (1917–2010) ilə ailə həyatı qurub. Nikahdan onun Natella (1945–2020) və Suella (1947–2008) adlı iki qızı olub.