Əlişir Musayev 1949-cu ildə Gürcüstan Respublikasının Başkeçid rayonunun Qızılkilsə kəndində anadan olub. Bəy nəslindən olan atası Veys kişi ixtisasca müəllim idi. Əlişir səkkizvuğaşın ikincisi idi. Babası əsl-nəcabətinə görə repressiyaya məruz qalmışdı.

1966-cı ildə Əlişir Musayev Azərbaycan Dövlət Tibb İnstitutunun müalicə-profilaktika fakültəsinə daxil olur. Tələbə dövründə elmi konfranslarda çıxışlar edir. 1972-ci ildə ali məktəbi bitirir. İki il ordu sıralarında xidmət edir, ixtisasını nəzərə alaraq onu alay tibb məntəqəsinin rəisi təyin edirlər.

1974-cü ildə Moskva şəhərində, Ümumittifaq Mərkəzi Elmi-Tədqiqat Kurortologiya və Fizioterapiya İnstitutunda sinir xəstəlikləri ixtisası üzrə aspiranturaya daxil olur. 1978-ci ildə "Bel osteoxondrozunun nevroloji təzahürləri olan xəstələrdə müxtəlif konsepsiyalı radon vannalarının sinir-əzələ aparatına təsiri" mövzusunda namizədlik dissertasiyası müdafiə edir. Həmin il Azərbaycan Elmi-Tədqiqat Kurortologiya və Fizioterapiya İnstitutunda kiçik elmi işçi təyin olunur. Üç il sonra müsabiqə yolu ilə baş elmi işçi vəzifəsinə seçilir. Görkəmli alim, 27 aprel 2020-ci ildə vəfat etmişdir.

2005-ci ildə Yeni Azərbaycan Partiyasının 18 saylı Nərimanov-Nizami dairəsi üzrə deputatlığa namizədi olmuş, lakin Cəmil Həsənliyə məğlub olmuşdur.

Ə. Musayev 1982–1986-cı illərdə Moskva şəhərində Mərkəzi Elmi-Tədqiqat Kurortologiya və Fizioterapiya İnstitutunun sinir xəstəlikləri şöbəsinin doktorantı olur. 1987-ci ildə "Sinir sisteminin müxtəlif səviyyəli zədələnmələri olan xəstələrdə müalicəvi fiziki amillərin tətbiq edilməsinin kliniki neyrofizioloji əsasları" mövzusunda doktorluq dissertasiyası müdafiə edi. 1988-ci ildə direktorun elmi işlər üzrə müavini, 1993-cü ildə direktor vəzifəsinə təyin edilir. 1994-cü ildən Azərbaycan Tibb Universitetinin fizioterapiya və kurortologiya kursuna, 2011-ci ildən fizioterapiya və idman təbabəti kafedrasına rəhbərlik edir. 1999-cu ildə Azərbaycan Respublikası Ali Attestasiya Komissiyasının qərarı ilə ona kurortologiya və fizioterapiya üzrə professor elmi adı verilir.

Professor Musayevin elmi fəaliyyətinin əsas istiqamətlərini sinir sisteminin müxtəlif xəstəlikləri zamanı fiziki və kurort amillərinin orqanizmə müalicəvi təsirinin neyrofizioloji əsaslarının öyrənilməsinə həsr olunan tədqiqatlar təşkil edir. Onun rəhbərliyi altında yerinə yetirilmiş nevrologiya və kurortologiyanın ən aktual problemlərinin həllinə yönəldilmiş elmi işlərin nəticələri əsasında mərkəzi və periferik sinir sistemi xəstəliklərinin yeni müalicə üsulları yaradılır və reabilitasiya proqramı işlənib hazırlanır. Azərbaycanda, eləcə də MDB məkanında ilk dəfə olaraq periferik sinir sisteminin odlu silah yaralanmaları və döyüş travmalarının təsnifatı, diaqnostik meyarları və yeni müalicə üsulları araşdırılır. Bir çox nüfuzlu jurnallarda alimin vertebrogen nevroloji sindromların, o cümlədən "fəqərəarası disk yırtığı" səbəbindən operativ müdaxiləyə məruz qalan xəstələrin müalicə və reabilitasiya üsullarına həsr olunan onlarca elmi məqaləsi çapdan çıxır.

Professor Ə. Musayev baş beyinin və onurğa beyinin damar patologiyalarının fiziki amillərlə yeni müalicə üsullarının və reabilitasiya prinsiplərinin ən aktual problemlərinin həllinə yönələn və beynəlxalq səviyyədə qəbul edilən elmi işlərin müəllifidir. O, bu patologiyalar zamanı orqanizmin pozulmuş hərəki funksiyalarının bərpa mexanizmlərini aktivləşdirmək üçün baş və onurğa beyinin hərəki mərkəzlərinə desimetrli elektromaqnit dalğaları vasitəsilə istiqamətli təsirə əsaslanan, obyektiv neyrofizioloji tədqiqatlara söykənən orijinal elmi konsepsiya irəli sürmüşdür. Həmçinin işemik insultun müasir patogenetik mexanizmlərinə uyğun olaraq transserebral fizioterapiyanın müalicəvi üstünlükləri və kliniki neyrofizioloji mexanizmləri əsaslandırılmışdır.

Əlişir Musayev Rusiyada, Türkiyədə, Çində, Avstriyada, İspaniyada, İsraildə, Böyük Britaniyada, Fransada və bir çox digər ölkələrdə keçirilən konqres və simpoziumlarda fiziki təbabət, reabilitasiya və nevrologiya mövzularında məruzələr edib. Rusiya Tibb Elmləri Akademiyasının fəxri doktoru, həqiqi üzvü, akademiki, akademiki, müxbir üzvüdür.

Ə. Musayevin rəhbərliyi altında ölkəmizin təbii müalicəvi amillərinin, xüsusilə, Naftalan neftinin, müalicəvi palçıqların, mineral suların öyrənilməsinə yönəldilmiş genişmiqyaslı tədqiqatlar Rusiya Elmlər Akademiyasının və AMEA-nın institutları ilə birgə aparılıb. Azərbaycan və Avropa patentləri ilə mühafizə olunan yeni müalicə üsulu yaradılıb. Musayevin rəhbərlik etdiyi institutun əməkdaşları Naftalan nefti əsasında yeni müalicə preparatı — Naftalan dimeksid emulsiyası (Avrasiya patenti) yaradılıb.

O, Elm və Texnika Komitəsinin sifarişi və qrantı əsasında kosmofiziki amillərin, xüsusilə, Günəş aktivliyinin demoqrafik göstəricilərə və insan sağlamlığına təsirini öAzərbaycanda birinci olaraq araşdırıb. AMEA-nın Kosmik Tədqiqatlar İnstitutu ilə birgə aparılan bu araşdırılmalarda əhəmiyyətli nəticələr əldə olunub. Milli Aviasiya Akademiyası ilə birlikdə Hava Hərəkəti İdarəsinin dispetçerlərinin funksional vəziyyətinin fiziki üsullarla nəzarət-korreksiya proqramını hazırlayıb. Professor Musayevin rəhbərliyi altında hazırlanmış kurortların inkişaf konsepsiyasının əsas müddəaları Azərbaycan Prezidenti İlham Əliyevin sərəncamı ilə təsdiq edilmiş "Azərbaycan Respublikasında 2009–2018-ci illərdə kurortların inkişafı Dövlət Proqramı"na daxil edilib.

Ə. Musayevin rəhbərliyi altında 2 doktorluq, 15 namizədlik dissertasiyası müdafiə edilib. Alimin elmi araşdırmalarının nəticələri 397 elmi əsərdə, o cümlədən 2 monoqrafiyada, sinir sisteminin yeni müalicə və reabilitasiya üsullarını təklif edən 12 ixtira və patentdə, 8 səmərələşdirici təklifdə, təbabətdə tətbiq olunan 15 metodik tövsiyəsində öz əksini tapıb. Məqalələrinin çoxu — 256-sı Rusiyanın və digər xarici ölkələrin nüfuzlu elmi jurnallarında dərc edilib. O, "Ümumi fizioterapiya" dərsliyinin və Türkiyədə həkimlər üçün nəşr olunmuş "Manual terapiya" tədris vəsaitinin müəllifidir. Azərbaycan Milli Ensiklopediyasında "Kurortologiya" bölməsinin müəllifidir.

Əlişir Musayev 1993–2006-cı illərdə Azərbaycan Respublikası Səhiyyə Nazirliyinin baş nevropotoloqu olub, nevrologiya üzrə həkimlərin attestasiya komissiyasına sədrlik edib. 1996–2002-ci illərdə ixtisaslaşdırılımış dissertasiya şurasının rəhbəri olub. O Azərbaycan Prezidenti yanında Ali Attestasiya Komissiyasının Tibb Elmləri üzrə ekspert şurasının sədridir.

2000-ci ildə Azərbaycanda səhiyyənin inkişafındakı xidmətlərinə görə "Əməkdar elm xadimi" fəxri adına layiq görülüb. 2001-ci ildə Amerika Bioqrafiya Tədqiqatlar Mərkəzinin "Qold Rekord" medalı, 2008-ci ildə Türk Dünyası Elmləri Akademiyasının "Qızıl medalı", 2009-cu ildə BMT-nin İctimai Təltiflər Şurasının 1-ci dərəcəli "Hippokrat" ordeni ilə təltif olunub. Oun Rusiyada nəşr olunan bir çox nüfuzlu jurnalların redaksiya şurasının üzvüdür. Özünün təsis etdiyi "Azərbaycan kurortologiya, fizioterapiya və reabilitasiya" jurnalının baş redaktorudur.2017-ci ildə Azərbaycan Respublikasının Prezidenti Cənab İlham Əliyevin sərəncamı ilə Tərəqqi medalı ilə təltif edilmişdir.

2019-cu ildə Azərbaycan Respublikasının ictimai-siyasi həyatında fəal iştirakına görə 3 cü dərəcəli "Əmək" ordeni ilə təltif edilib.

İki oğul atasıdır.