Ələsgər Məmmədov 10 oktyabr 1919-cu ildə Bakının Keşlə qəsəbəsində anadan olub. Erkən yaşlarında valideynlərini itirən Məmmədov əmisinin himayəsində böyüyüb.

Yeddi illik orta məktəbi bitirdikdən sonra 1933–1937-ci illərdə Nəriman Nərimanov adına Bakı Sənaye Texnikumunda, 1937–1941-ci illərdə isə Azərbaycan Dövlət Pedaqoji İnstitutunun alman dili şöbəsində təhsil alan Ələsgər Məmmədov eyni zamanda həmin illərdə yenicə yaradılmış Bakı Ali Hərbi Dənizçilik Məktəbində alman dilindən dərs demişdir. 1941-ci ilin iyulunda Məmmədov Azərbaycan, Gürcüstan və Ermənistandan olan nümayəndələrlə birlikdə Şərq dillərini öyrənmək üçün Moskvaya göndərilmiş və 1944-cü ildə Moskva Şərqşünaslıq İnstitutunun ərəb dili üzrə hərbi şöbəsini fərqlənmə diplomu ilə bitirmişdir.

1945-ci ilin fevral ayından SSRİ Xarici İşlər Nazirliyində baş referent kimi əmək fəaliyyətinə başlayan Məmmədov həmin ilin dekabr ayından 1946-cı ilin fevral ayına qədər alman dili mütəxəssisi kimi Nürnberq prosesinə tərcüməçi qismində cəlb edilmişdir. O, Ənvər Məmmədovla birlikdə hərbi tribunalda iştirak edən iki azərbaycanlıdan biri idi. Ələsgər Məmmədov nazirlikdə işlədiyi 2 il yarım ərzində ələ keçirilmiş diplomatik sənədlərinin böyük bir qismini, təxminən 30-dan artıq sənədi alman dilindən rus dilinə tərcümə etmişdi. 26 yaşlı Ələsgər Məmmədov Nürnberq prosesində iştirak etmək məqsədilə alman dilindən imtahan verərkən imtahanı qəbul edən alman dili mütəxəssisi Qrabor-Passak ondan razı qalmış və gənc Ələsgərin tribunalda alman dili tərcüməçisi kimi çıxış etməsini məsləhət görmüşdür.

Sonralar Ələsgər Məmmədov Nürnberq Tribunalı ilə bağlı müsahibələrində aşağıdakı xatirələrini qeyd etmişdi:

Şövkət adlı xanımla ailə həyatı qurduqdan sonra Məmmədov 1947-ci ilin avqust ayından etibarən Bakı Dövlət Universitetinin Şərqşünaslıq fakültəsində pedaqoji və elmi fəaliyyətə başlamışdır. Universitetdə fakültənin dekanı seçilən alim 1957-ci ildə fakültənin ərəb dili kafedrasının əsasını qoymuş və 29 il bu kafedraya rəhbərlik etmişdir. O, 1947–1950 illərdə universitetdə baş müəllim vəzifəsində işləmiş, 1948–1950 illərdə ərəb dili ixtisası üzrə aspiranturaya daxil olmuş, 1953-cü ildə filologiya elmləri namizədi alimlik dərəcəsini almışdır. 1954-cü ildə dosent, 1967-ci ildə professor olan Məmmədov 1992-ci ildə əməkdar elm xadimi adına layiq görülmüşdür.

Ərəb dili ilə yanaşı, rus, alman, fransız, fars və ingilis dillərini də mükəmməl bilən Ələsgər Məmmədov 30-dan artıq ərəb dili dərsliyi və dərs vəsaitinin müəllifidir. Ələsgər Məmmədovun 573 səhifədən ibarət ilk "Ərəb dili" dərsliyi 1958-ci ildə Sovet İttifaqında kütləvi tirajla (5000 nüsxə) buraxılmış, təkcə Azərbaycanda deyil, Tacikistan və Özbəkistanda da istifadə edilmişdi. Onun rus dilində yazdığı "Арабский язык" ("Ərəb dili") dərsliyindən nəinki Azərbaycanda, həmçinin Dağıstan, Tatarıstan, Ukrayna, Orta Asiya respublikaları və digər postsovet ölkələrinin şərqşünaslıq mərkəzlərində istifadə olunur. Ələsgər Məmmədovun hazırladığı kitablar şərqşünaslıq fakültəsinin rus və Azərbaycan bölmələri, eləcə də ilahiyyat, tarix və filologiya fakültələrində ərəb dilini öyrənənlər və ərəb təmayüllü orta məktəblər üçün nəzərdə tutulmuşdu. 1972-ci ildə I və II kurs Azərbaycan bölməsi üçün yazdığı "Ərəb dili" kitabı sifarişə əsasən 22 ölkəyə göndərilmişdir.

1994-cü ildə Azərbaycan Respublikası Prezidenti yanında Ali Attestasiya Komissiyası Ələsgər Məmmədova doktorluq dissertasiyası müdafiə etmədən pedaqoji elmlər doktoru alimlik dərəcəsi vermişdir.

Ələsgər Məmmədov XX əsrin 90-cı illərində Bakı Dövlət Universitetinin şərqşünaslıq fakültəsində "Quranşünaslıq" fənni üzrə dərs deyirdi.

1958-ci ilin sentyabrında Məmmədovun təşəbbüsü ilə ilk dəfə Azərbaycan Radiosu nəzdində ərəb redaksiyası yaradıldı və onun ilk redaktoru özü oldu. O, 1969-cu ildən etibarən həm də SSRİ Semitoloqlar Kollegiyasının üzvü idi.

Vasim Məmmədəliyev, Aida İmanquliyeva, Gövhər Baxşəliyeva, Malik Mahmudov və İmamverdi Həmidov kimi Azərbaycanın tanınmış ərəbşünasları Məmmədovun yetirmələri hesab olunurlar. Ələsgər Məmmədovu "Azərbaycan ərəbşünaslıq elminin patriarxı" adlandıran ərəbşünas alim Nəriman Qasımoğlu yazırdı ki, "əgər Türkiyədə ərəbcəni 10–15 ilə mükəmməl öyrənmək mümkündürsə, Bakıda Ələsgər müəllimin üslubu ilə bu, 4–5 il müddətində başa gələ bilir." Ələsgər Məmmədov məktəbinin nümayəndələri ərəb ölkələrində, əsasən də İraq, Suriya, Sudan, İordaniya, Küveyt, Yəmən, Ədən, Misir, Liviya, Tunis və Əlcəzairdə tərcüməçi və diplomat kimi də fəaliyyət göstərmişlər.

Ələsgər Məmmədov 1963-cü ilin mart ayında sovet maarif işçilərinin nümayəndə heyətinin sədri kimi Misirə ezam olunmuşdu. 1973-cü ildə isə Azərbaycan Kommunist Partiyası Mərkəzi Komitəsinin nümayəndələri ilə birlikdə Bakı və Bəsrə şəhərləri arasında qardaşlıq müqaviləsi bağlamaq məqsədilə İraqa səfər etmişdi. İraqın rəsmi nümayəndələri "azərbaycanlı ərəb" adlandırdıqları Məmmədovu Kərbəla ziyarətinə apararaq ona qızıl suyuna çəkilmiş "Qurani Kərim" kitabını bağışlamışdılar. Misir, İraq və İordaniyanın bir sıra qəzet və jurnallarında alimin fəaliyyəti barədə geniş materiallar dərc edilmişdir.

Ələsgər Məmmədov 29 yanvar 2000-ci ildə dünyasını dəyişmişdir. O, vəfatına yaxın müalicə almışdır.

Azərbaycan Dövlət Teleradio Verilişləri Şirkətinin "Aztelefilm" Yaradıcılıq Birliyi tərəfindən Rəfiqə Məsudun ssenarisi əsasında Ələsgər Məmmədovun həyatından bəhs edən "Ömürdən qalan izlər" adlı tammetrajlı film çəkilmişdir.