Əlövsət Qəzənfər oğlu Baxşıyev 1956-cı il iyun ayının 22-də Naxçıvan Muxtar Respublikası Şərur rayonunun Kərimbəyli kəndində anadan olmuşdur. 1963-cü ildə kənd orta məktəbinin 1-ci sinfinə getmiş, 1973-cü ildə orta məktəbi bitirmişdir. Həmin il D. Bünyadzadə adına Azərbaycan Xalq Təsərrüfatı İnstitutunun maliyyə-kredit fakültəsinə daxil olmuş və 1977-ci ildə institutu iqtisadçı ixtisası üzrə bitirmişdir.

Ə. Baxşıyev əmək fəaliyyətinə 1977-ci ildə İliç rayon Kommunal Təsərrüfatı Şöbəsində mühasib köməkçisi kimi başlamışdır. 1977–1979-cu illərdə sovet ordusunda həqiqi hərbi xidmətdə olmuşdur. 1979-cu ildən 1986-cı ilə kimi Şərur rayonundakı "Naxçıvan MSSR-nin 50 illiyi" adına üzümçülük sovxozunda hüquq məsləhətçisi, iqtisadçı, baş mühasibin müavini, baş mühasib vəzifələrində çalışmışdır. 1986-cı ildə İliç Rayon Aqrar Sənaye Biriyində aparıcı iqtisadçı-maliyyəçi, 1992-ci ilin yanvar ayınadək İliç Rayon Xalq Deputatları Sovetində sədr müavini, 1992–1994-cü illərdə Şərur Rayon Xalq Deputatları Məclisi İcraiyyə Komitəsində sədrin birinci müavini və sədr vəzifələrində işləmişdir.

1994-cü ilin avqust ayından 1998-ci ilin fevral ayınadək Naxçıvan Muxtar Respublikasının maliyyə naziri, 1998-ci ildən 2000-ci ilin fevral ayınadək Naxçıvan Muxtar Respublikasının maliyyə-iqtisadiyyat naziri vəzifələrini icra etmişdir.

2000-ci il fevralın 11-dən 2020-ci ilədək Naxçıvan Muxtar Respublikasının Baş naziri olmuşdur.

1990–1995, 1995–2000-ci illərdə iki çağırış Naxçıvan Muxtar Respublikası Ali Məclisinin deputatı seçilmişdir.

2006-cı ildə fəxri adına layiq görülmüşdür. Azərbaycan Respublikasının Prezidenti tərəfindən 2013-cü ildə 3-cü dərəcəli "Vətənə xidmətə görə" ordeni, 2016-cı ildə "Şöhrət" ordeni (Azərbaycan) ilə təltif olunmuşdur.

Ailəlidir, 3 övladı var.