Ədədi silsilə - Haqqinda Melumat

1) 2; 5; 8; 11; 14; ... ,
2) – 1; 3; 7; 11; 15; ... ,
3) 3; 1; – 1; – 3; – 5; ... , ədədi ardıcıllıqlarından (1)-də ikincidən başlayaraq hər bir hədd özündən əvvəlki hədlə 3-ün cəminə, (2)-də ikincidən başlayaraq hər bir hədd özündən əvvəlki hədlə 4-ün cəminə, (3)-də ikincidən başlayaraq hər bir hədd özündən əvvəlki hədlə (– 2)-nin cəminə bərabərdir. Bu növ ədədi ardıcıllıqlar ədədi silsilə adlanır.

İkincidən başlayaraq hər bir həddi özündən əvvəlki hədlə eyni bir ədədin cəminə bərabər olan ədədi ardıcıllığa ədədi silsilə deyilir. Başqa sözlə, istənilən natural $n$ üçün

$a_{n+1}=a_{n}+d$ olarsa, $a_{n}$ ardıcıllığına ədədi silsilə deyilir, burada $d$ hər hansı ədəddir.

Ədədi silsilənin bu tərifindən görünür ki, birinci dən başlayaraq hər bir həddən özündən əvvəlki həddi çıxsaq, eyni bir $d$ ədədi alınar. $d$ ədədinə ədədi silsilənin fərqi deyilir:

$a_{n+1}-a_{n}=d$ bu düsturda əgər $d>0$ olarsa, ədədi silsilə artan ardıcıllıq, $d<0$ olarsa, azalan ardıcıllıq, $d=0$ olarsa, sabit ardıcıllıq olur.

Ədədi silsilə o zaman verilmiş hesab edilir ki, onun $a_{1}$ - birinci həddi və $d$ - silsilə fərqi verilmiş olsun. Yəni $a_{1}$ və $d$ verilsə $a_{n}$ ədədi silsiləsinin istənilən həddini

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ düsturu ilə tapmaq olar. Bu düstura ədədi silsilənin n-ci həddinin düsturu deyilir.

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ düsturunu $a_{n}=nd+(a_{1}-d)$ şəklində yazıb, $d=k$ , $a_{1}-d=b$ işarə etsək, $a_{n}=kn+b$ alarıq.

Ədədi silsilənin xassələri

Ədədi silsilənin $n$ -ci həddinin düsturunun tətbiqi ilə onun aşağıdakı xassələri alınır:

1. Sonlu ədədi silsilədə uclardan eyni uzaqlıqda duran hədlərin cəmi kənar hədlərin cəminə bərabərdir. Yəni, $a_{1}$ ; $a_{2}$ ; $a_{3}$ ;...; $a_{n-1};$ $a_{n}$ ədədi silsiləsində bu düstur alınır:

$a_{k}+a_{n-k+1}=a_{1}+a_{n}$ burada, $a_{k}$ əvvəldən $k$ -cı hədd, $a_{n-k+1}$ isə axırdan $k$ -cı həddir.

2. Ədədi silsilədə indekslərinin cəmi bərabər olan hədlərin cəmi bərabərdir. Yəni, $n+m=k+l$ olarsa, $a_{n}+a_{m}=a_{k}+a_{l}$ olar.

3. $n={\frac {k+l}{2}}$ olduqda, ədədi silsilədə $a_{n}={\frac {a_{k}+a_{l}}{2}}$ olur.

4. Ədədi silsilədə ikincidən başlayaraq hər bir hədd özündən əvvəlki və sonrakı hədlərin ədədi ortasına bərabərdir. Yəni,

$a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}(n>1)$ buna ədədi silsilənin xarakterik xassəsi deyilir.

5. $a_{n}$ ədədi silsiləsində $n>m$ olduqda, $a_{n}=a_{m}+(n-m)d$ bərabərliyi doğrudur.

6. $n>m$ olduqda, $a_{n}$ ədədi silsiləsi üçün $d={\frac {a_{n}-a_{m}}{n-m}}$ bərabərliyi doğrudur, $d$ ədədi silsilənin fərqidir.

$a_{n}$ ədədi silsiləsinin ilk $n$ həddinin cəmi, yəni $a_{1}$ + $a_{2}$ + $a_{3}$ +...+ $a_{n}$ cəmi bu düsturla hesablanır:

$S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}*n$ . Bu düsturda $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ olduğunu nəzərə alsaq daha ətraflı olan bu düsturu alarıq:
$S_{n}={\frac {2a_{1}+(n-1)d}{2}}*n$ . Bu düsturların hər ikisi ədədi silsilənin ilk $n$ həddinin cəmi düsturları adlanır.

7. Ədədi silsilənin $k$ -cı həddi məlum olduqda onun ilk $(2k-1)$ sayda həddinin cəmi

$S_{2k-1}=(2k-1)a_{k}$ düsturu ilə hesablanır.

8. Ədədi silsilənin ilk $n$ həddinin cəmi $S_{n}$ -in ifadəsi məlum olduqda onun hər hansı $k$ nömrəli həddini

$a_{k}=S_{k}-S_{k-1}$ düsturu ilə hesablamaq olar.

Həmçinin bax

Həndəsi silsilə