İlqar Müşkiyev birinci uğuruna 2007-ci ildə Azərbaycan Çempionatının qalibi olmaqla imza atdı. Bir il sonra, 2008-ci ildə isə Azərbaycan Çempionatını gümüş medalla başa vuran İlqar Müşkiyev 2009-cu ildə beynəlxalq turnirlərdə birinci uğurlarına imza atdı. İlqar Müşkiyev əvvəlcə Ermənistanın İrəvan şəhərində U-20 Avropa Çempionatının gümüş medalına sahib oldu, daha sonra isə Fransanın Paris şəhərində gənclər arasında Dünya Çempionatını gümüş medalla başa vurdu. Həmin il növbəti dəfə Azərbaycan Çempionatının qalibi olan İlqar Müşkiyev 2010-cu ilin noyabrında Bosniya və Herseqovinanın Sarayevo şəhərində baş tutan U-23 Avropa Çempionatının bürünc medalına sahib oldu. İlin sonunda isə İlqar Müşkiyev üçüncü dəfə Azərbaycan Çempionatının qalibi oldu.

Karyerasında İlqar Müşkiyevin ən uğurlu mövsümü 2011-ci ildə oldu. Yanvarda IJF World Masters beynəlxalq turnirinin bürünc medalına sahib olan İlqar Müşkiyev IJF World Cup beynəlxalq turnirlərinin Tbilisi və Tallin mərhələlərinin qalibi oldu. İlqar Müşkiyev avqustda Fransanın Paris şəhərində Dünya Çempionatını bürünc medalla başa vurdu. Mövsüm ərzində İlqar Müşkiyev həm də IJF World Cup beynəlxalq turnirlərinin Braziliya və Özbəkistanda baş tutan mərhələlərində bürünc medallara, Azərbaycan mərhələsində isə gümüş medala sahib oldu.

2012-ci ildə İlqar Müşkiyev əvvəl mayda IJF Qran-Pri beynəlxalq turnirinin qalibi oldu, sonra isə IJF Grand Slam beynəlxalq turnirini bürünc medalla başa vurdu. İlqar Müşkiyev IJF olimpiya reytinq cədvəlində mövqeyini yaxşılaşdırdı və olimpiya lisenziyasına sahib oldu. İlqar Müşkiyev həmin ilin avqustunda Azərbaycanı London şəhərində (Birləşmiş Krallıq) baş tutan XXX Yay Olimpiya Oyunlarında təmsil elədi. −60 Kq. turnirində mübarizə aparan və təsnifat mərhələsindən azad olan İlqar Müşkiyev olimpiadanın 1/8 final mərhələsində son Avropa Çempionatının finalçısı Ermənistan nümayəndəsi Ovannes Davtyan ilə üz-üzə gəldi. Həmin görüşdə İlqar Müşkiyev rəqibinə məğlub oldu və olimpiada da mübarizəsini başa vurdu.

Olimpiadadan sonra İlqar Müşkiyev 2013-cü il ərzində Rusiyada IJF Grand Slam beynəlxalq turnirində bürünc medala sahib oldu. 2014-cü ilin aprelində Fransanın Monpelye şəhərində baş tutan Avropa Çempionatını bürünc medalla başa vuran İlqar Müşkiyev mövsüm ərzində Budapeşt şəhərində IJF Qran-Prisi, Tyumen və Əbu-Dabi şəhərlərində isə IJF Grand Slam beynəlxalq turnirlərində bürünc medallara sahib oldu.

İlqar Müşkiyevin 2015-ci ildə yeganə uğuru noyabrda Çində IJF Qran-Pri beynəlxalq turnirinin qalibi olmaq oldu. 2016-cı ildə isə İlqar Müşkiyev Samsun şəhərində IJF Qran-Prisi və Tyumen şəhərində IJF Grand Slam beynəlxalq turnirlərində bürünc medallara sahib oldu. 2017-ci ildə beynəlxalq turnirlərdə uğura imza ata bilməyən İlqar Müşkiyevin mövsüm ərzində yeganə uğuru Azərbaycan Çempionatını bürünc medalla başa vurmaq oldu.