Yakobi üsulu

Fərz edək ki,

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ 

n dərəcəli xətti bərabərliklərdir, burada:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}.}$ 

Sonra A matrisi diaqonal D komponentinə və onun qalığı R matrisinə bölünür:

${\displaystyle A=D+R\qquad {\text{where}}\qquad D={\begin{bmatrix}a_{11}&0&\cdots &0\\0&a_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}{\text{ and }}R={\begin{bmatrix}0&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&0&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &0\end{bmatrix}}.}$ 

Bunun həlli təkrarlanmaqla belə tapılır

${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}=D^{-1}(\mathbf {b} -R\mathbf {x} ^{(k)}),}$ 

burada ${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k)}}$ , ${\displaystyle \mathbf {x} }$ -nin k dərəcəli approksimasiyası yaxud təkrarlanması və ${\displaystyle \mathbf {x} ^{(k+1)}}$ , ${\displaystyle \mathbf {x} }$ -nin növbəti yaxud k + 1 dərəcəli təkrarlanmasıdır. Element əsaslı formula beləcə aşağıdakı kimidir:

${\displaystyle x_{i}^{(k+1)}={\frac {1}{a_{ii}}}\left(b_{i}-\sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}^{(k)}\right),\quad i=1,2,\ldots ,n.}$ 

x_i^(k+1) hesablanması x^(k)-də özündən başqa hər bir elementin olmasını tələb edir.

Xətti bərabərlik sistemi ${\displaystyle Ax=b}$  formasında və onun ilkin fərz edilən həlli ${\displaystyle x^{(0)}}$  verilib

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\5&7\\\end{bmatrix}},\ b={\begin{bmatrix}11\\13\\\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad x^{(0)}={\begin{bmatrix}1\\1\\\end{bmatrix}}.}$ 

Biz ${\displaystyle x}$  hesablamaq üçün yuxarıda verilən ${\displaystyle x^{(k+1)}=D^{-1}(b-Rx^{(k)})}$  bərabərliyindən istifadə edirik. Əvvəlcə biz bərabərliyi daha rahat olan ${\displaystyle D^{-1}(b-Rx^{(k)})=Tx^{(k)}+C}$  formasında yazırıq, burada ${\displaystyle T=-D^{-1}R}$  və ${\displaystyle C=D^{-1}b}$ . Nəzərə alın ki, ${\displaystyle R=L+U}$ , burada ${\displaystyle L}$  və ${\displaystyle U}$ , ${\displaystyle A}$  matrisinin aşağı və yuxarı hissələridir. Verilən dəyərlərə əsasən

${\displaystyle D^{-1}={\begin{bmatrix}1/2&0\\0&1/7\\\end{bmatrix}},\ L={\begin{bmatrix}0&0\\5&0\\\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad U={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}.}$ 

biz ${\displaystyle T=-D^{-1}(L+U)}$  tapırıq

${\displaystyle T={\begin{bmatrix}1/2&0\\0&1/7\\\end{bmatrix}}\left\{{\begin{bmatrix}0&0\\-5&0\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&-1\\0&0\\\end{bmatrix}}\right\}={\begin{bmatrix}0&-1/2\\-5/7&0\\\end{bmatrix}}.}$ 

Daha sonra ${\displaystyle C}$  tapılır

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}1/2&0\\0&1/7\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}11\\13\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}11/2\\13/7\\\end{bmatrix}}.}$ 

${\displaystyle T}$  və ${\displaystyle C}$  hesablandıqdan sonra biz ${\displaystyle x}$ -i ${\displaystyle x^{(1)}=Tx^{(0)}+C}$  kimi hesablayırıq:

${\displaystyle x^{(1)}={\begin{bmatrix}0&-1/2\\-5/7&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\1\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}11/2\\13/7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5.0\\8/7\\\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}5\\1.143\\\end{bmatrix}}.}$ 

Təkrarlamanın nəticələri belədir

${\displaystyle x^{(2)}={\begin{bmatrix}0&-1/2\\-5/7&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5.0\\8/7\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}11/2\\13/7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}69/14\\-12/7\\\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}4.929\\-1.714\\\end{bmatrix}}.}$ 

Bu proses yığılmaya kimi (yəni ${\displaystyle \|Ax^{(n)}-b\|}$  kiçik olana qədər) davam etdirilir. 25 təkrarlamadan sonra həll belədir

${\displaystyle x={\begin{bmatrix}7.111\\-3.222\end{bmatrix}}.}$ 

• Şablon:CFDWiki
• Black, Noel; Moore, Shirley; and Weisstein, Eric W. Jacobi method (ing.) Wolfram MathWorld saytında.
• Jacobi Method from www.math-linux.com
• Numerical matrix inversion