Xətti tənliklər sistemi mövzusunun elementləri hələ orta məktəbdə tədris olunmağa başlayır. Ən sadə xətti tənliklər sistemi

${\displaystyle {\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y=c_{1}\\a_{2}x+b_{2}y=c_{2}\end{cases}}}$

şəklində olan sistemdir. Burada ${\displaystyle a_{1},b_{1},c_{1},a_{2},b_{2},c_{2}}$ verilmiş əmsallar, ${\displaystyle x}$ və ${\displaystyle y}$ isə dəyişənlərdir. Aydındır ki, hansı tənliyi birinci və hansını ikinci yazmağın əhəmiyyəti yoxdur. Ona görə də ${\displaystyle a_{1}\neq 0}$ qəbul edə bilərik. Orta məktəbdə belə sistemin həlli üçün təklif olunan üsullardan biri cəbri toplama üsulu adlanan üsuldur. Bu üsulun mahiyyəti aşağıdakı kimidir. Birinci tənliyin hər iki tərəfini ${\displaystyle -a_{2}a_{1}^{-1}}$ ədədinə vuraq:

${\displaystyle -a_{2}x-b_{1}a_{2}a_{1}^{-1}y=-c_{1}a_{2}a_{1}^{-1}}$

alınan tənliyi ikinci tənliklə toplayıb, hər tərəfi yenidən ${\displaystyle a_{1}}$-ə vuraq. Əgər ${\displaystyle b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2}\neq 0}$ olarsa, alarıq:

${\displaystyle (b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2})y=c_{2}a_{1}-c_{1}a_{2}}$

və ya

${\displaystyle y={\frac {c_{2}a_{1}-c_{1}a_{2}}{b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2}}}}$.

Alınan qiyməti birinci tənlikdə yerinə yazmaqla ${\displaystyle x}$-i də tapmaq olar. Bu üsul yuxarıdakı sistemi tamamilə araşdırmağa imkan verir. Bir sıra praktik məsələlərlə əlaqədar daha mürəkkəb xətti tənliklər sistemi meydana çıxır. Belə sistemlərdə dəyişənlərin və tənliklərin sayı müxtəlif və böyük ədədlər ola bilər.

Ümumi şəkildə ${\displaystyle n}$ dəyişəni olan ${\displaystyle m}$ sayda tənlikdən ibarət olan xətti tənliklər sistemi aşağıdakı şəkildə yazılır:

${\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&+\dots &+a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}&+\dots &+a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}&+\dots &+a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{cases}}(1)}$

şəklində olan sistem x məchullu y xətti tənliklər sistemi və ya xətti sistem adlanır, burada a_ij , b_i (${\displaystyle i={1,m};j=1,n}$) – ədədlərdir.

(1) xətti tənliklər sistemini matris tənliyi şəklində yazmaq olar. Məchulların əmsallarından düzəlmiş matrisi A, sağ tərəfdəki məlum ədədlərdən düzəlmiş sütun-matrisi B, axtarılan məchullardan düzəlmiş sütun-matrisi isə x ilə işarə edək:

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}}$

A matrisin sütunlarının sayı x matrisinin sətirlərinin sayına bərabər olduqdan, Ax hasilini tapa bilərik;

${\displaystyle Ax={\begin{bmatrix}a_{11}x_{1}&a_{12}x_{2}&\cdots &a_{1n}x_{n}\\a_{21}x_{1}&a_{22}x_{2}&\cdots &a_{2n}x_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}x_{1}&a_{m2}x_{2}&\cdots &a_{mn}x_{n}\end{bmatrix}}}$

Tərif 1. ${\displaystyle (x_{1}^{0},x_{2}^{0},...,x_{1}^{n})\in R}$ vektoru (1) sisteminin hər bir tənliyini doğru bərabərliyə çevirirsə, onda belə vektora (1) sisteminin həlli deyilir (bu kortej bir həll kimi qəbul olunur).

Tərif 2. Əgər (1) xətti tənliklər sistemində bütün sərbəst hədlər sıfra bərabər olarsa, onda belə sistem bircins xətti tənliklər sistemi adlanır. Bircins olmayan sistemə qeyri-bircins sistem deyilir. Qeyri-bircins (1) sistemində sərbəst hədlərin sıfırla əvəz olunması nəticəsində alınan sistemə (1)-ə uyğun bircins xətti tənliklər sistemi deyilir.

Tərif 3. Həllər çoxluğu boş olmayan sistem uyuşan sistem (və ya birgə sistem), həlli olmayan sistem isə uyuşmayan sistem adlanır.

Xətti tənliklər sistemini öyrənərkən iki əsas məsələ qarşıya çıxır. Nə zaman hökm etmək olar ki, (1) sistemi uyuşandır və əgər (1) uyuşan sistem olarsa onun həlləri necə tapıla bilər?

(1) sistemi ilə birlikdə başqa xətti tənliklər sistemi götürək və tutaq ki, onun da ${\displaystyle m}$ sayda tənliyi və ${\displaystyle n}$ sayda məchulu vardır:

${\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&+\dots &+a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}&+a_{22}x_{2}&+\dots &+a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}&+a_{m2}x_{2}&+\dots &+a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{cases}}(2)}$

Tərif 4. Əgər (1) və (2) sistemlərinin həllər çoxluğu eyni olarsa, onlara eynigüclü sistemlər deyilir və belə yazılır (1)~(2). Əgər (1) sisteminin hər bir həlli (2) sisteminin də həlli olarsa, onda (2) sistemi (1) sisteminin nəticəsi adlanır.

Qeyd edək ki, bütün xətti tənliklər sistemləri çoxluğunda (yəni ${\displaystyle m}$ məchullu və ${\displaystyle n}$ dəyişənli sistemlər çoxluğnda) eynigüclülük münasibəti ekvivalentlik münasibətidir: ixtiyari ${\displaystyle (a)}$, ${\displaystyle (b)}$, ${\displaystyle (c)}$ sistemləri üçün ${\displaystyle (a)\sim (a)}$; əgər ${\displaystyle (a)\sim (b)}$ olarsa, onda ${\displaystyle (b)\sim (a)}$; əgər ${\displaystyle (a)\sim (b)}$ və ${\displaystyle (b)\sim (c)}$ isə, onda ${\displaystyle (a)\sim (c)}$.

Əgər (2) tənliyində ${\displaystyle i}$-ci yerdə (1) tənliyinin ${\displaystyle k}$-cı , (2) tənliyində ${\displaystyle k}$-cı yerdə isə (1) tənliyinin ${\displaystyle i}$-ci tənliyi dayanmaqla, qalan tənliklər isə dəyişməz qalarsa, onda deyəcəyik ki, (2) tənliyi (1)-dən I növ elementar çevirmə ilə, yəni ${\displaystyle i}$ və ${\displaystyle k}$ nömrəli tənliklərin yerdəyişməsi ilə alınmışdır.

Fərz edək ki, (2) sisteminin bütün tənlikləri, ${\displaystyle i}$ –cidən başqa, (1) sistemində olduğu kimidir və ${\displaystyle i}$ – ci tənlik isə

${\displaystyle (a_{i1}+ca_{k1})x_{1}+(a_{i2}+ca_{k2})x_{2}+(a_{im}+...+ca_{km})x_{1}=b_{i}+cb_{k}}$ (3)

şəklində olarsa, onda deyəcəyik ki, (2 sistemi (1) sistemindən II növ elementar çevirmə ilə alınmışdır. Aydındır ki, II növ elementar çevirmə zamanı (1) sisteminin ${\displaystyle k}$ –cı tənliyini dəyişmirik, lakin onun hər hansı ${\displaystyle c}$ ədədinə vurulmasından alınan tənliyi sistemin ${\displaystyle i}$-ci tənliyinə hədbəhəd əlavə edirik.

Teorem 1. Əgər (2) sistemi (1) sistemindən sonlu sayda I və II növ çevirmələrin ardıcıl yerinə yetirilməsi ilə alınmışsa, onda bu sistemlər ekvivalentdir.

İsbatı. Eynigüclülük münasibətinin tranzitivliyindən alınır ki, (2) sisteminin (1)-dən ancaq bir I və ya bir II növ elementar çevirmə ilə alındıqda (1) ~(2) olduğunu göstərsək, teorem isbat olunmuş olar.

Tutaq ki, (2) sistemi (1)-dən ancaq iki tənliyin yerdəyişməsi ilə alınmışdır. Onda bu sistemlərdəki tənliklər özləri dəyişməmişdir. Ona görə də onların həllər çoxluğu eynidir, yəni (1)~(2).

İndi fərz edək ki, (2) sistemi (1)-dən II növ elementar çevirmə ilə alınmışdır. Onda (2) sisteminin ${\displaystyle i}$-ci tənlikdən başqa qalan tənlikləri (1)-də olduğu kimi, ${\displaystyle i}$-ci tənliyi isə (2) şəklindədir. Bu halda ${\displaystyle (x_{1}^{0},x_{2}^{0},...,x_{n}^{0})}$ həlli (2) sisteminin bütün tənliklərini (${\displaystyle i}$ –cidən başqa) doğru bərabərliyə çevirir. Eyni zamanda

${\displaystyle {\begin{cases}a_{i1}x_{1}^{0}+a_{i2}x_{2}^{0}+...+a_{in}x_{n}^{0}=b_{i}\\a_{k1}x_{1}^{0}+a_{k2}x_{2}^{0}+...+a_{kn}x_{n}^{0}=b_{n}\end{cases}},}$

İkinci bərabərliyin hər iki tərəfini ${\displaystyle c}$ ədədinə vursaq bərabərlik pozulmaz. Alınan bərabərliyi hədbəhəd birinciyə əlavə etsək (4) bərabərliyini alarıq.

Tutaq ki, ${\displaystyle (x_{1}^{0},x_{2}^{0},...,x_{n}^{0})}$ (3) sisteminin hər hansı həllidir. Onda bu kortej (1) sisteminin ${\displaystyle i}$-cidən başqa bütün tənliklərini doğru bərabərliyə çevirəcəkdir. O cümlədən, (3) sisteminin aşağıdakı iki tənliyi ödənilir:

${\displaystyle {\begin{cases}a_{k1}x_{1}^{0}+a_{k2}x_{2}^{0}+...+a_{kn}x_{n}^{0}=b_{n}\\(a_{i1}+ca_{k1})x_{1}^{0}+(a_{i2}+ca_{k2})x_{2}^{0}+...+(a_{in}+ca_{kn})x_{n}^{0}=b_{i}+cb_{k}\end{cases}},}$

Birinci bərabərliyin hər iki tərəfini ${\displaystyle (-c)}$-yə vuraq və ikinci tənliyə əlavə edək. Onda (1)-in ${\displaystyle i}$-ci tənliyinin də ödənildiyini görərik. Deməli, (1)~(2). Teoremin isbatı başa çatdı.

Qeyd edək ki, ixtiyari iki uyuşmayan sistem eynigüclüdür.

Tərif 5. Əgər (1) sisteminin yeganə həlli varsa, ona müəyyən sistem deyilir. Əks halda uyuşan sistem qeyri-müəyyən sistem adlanır.

(1) xətti tənliklər sisteminin araşdırılması üçün müxtəlif üsullar mövcuddur. Belə üsullardan ən sadəsi dəyişənlərin ardıcıl yox edilməsi üsulu və ya Qauss üsulu adlanır. Bu üsulun tarixi riyaziyyatın inkişafının çox qədim dövrlərinə gedib çıxır. Belə ki, müəllifi məlum olmayan "Riyazi incəsənət haqda doqquz kitab" adlı əsərdə qədim Çin riyaziyyatçıları xətti tənliklər sistemini məhz bu üsulla həll ediblər. Əsərin b.e.ə. 208 — b.e. 210-cu illərində yazıldığı güman edilir və bu göstərir ki, bu üsulun tarixi daha qədimdir.