Tərs triqonometrik funksiyalar

${\displaystyle \arcsin x+\arccos x={\frac {\pi }{2}}}$ 

${\displaystyle \operatorname {arctan} \,x+\operatorname {arccot} \,x={\frac {\pi }{2}}}$ 

Arksinus - m ədədinin x bucağının qiymətinə , radian ifadəsinə deyilir, hansı ki, ${\displaystyle \sin x=m,\,-{\frac {\pi }{2}}\leqslant x\leqslant {\frac {\pi }{2}},\,|m|\leqslant 1.}$ 

${\displaystyle y=\sin x}$  funksiyası bütün ədəd oxunda kəsilməz və məhduddur. ${\displaystyle y=\arcsin x}$  funksiyası ciddi artandır.

• ${\displaystyle \sin(\arcsin x)=x\qquad }$  ${\displaystyle -1\leqslant x\leqslant 1,}$ 
• ${\displaystyle \arcsin(\sin y)=y\qquad }$  ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leqslant y\leqslant {\frac {\pi }{2}},}$ 
• ${\displaystyle D(\arcsin x)=[-1;1]\qquad }$  (təyin oblastı),
• ${\displaystyle E(\arcsin x)=\left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]\qquad }$  (qiymətlər çoxluğu).

• ${\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin x\qquad }$  (tək funksiyadır).
• ${\displaystyle 0<x\leqslant 1}$  olduqda ${\displaystyle \arcsin x>0}$ .
• ${\displaystyle x=0}$  olduqda ${\displaystyle \arcsin x=0}$ .
• ${\displaystyle -1\leqslant x<0}$  olduqda ${\displaystyle \arcsin x<0}$ .
• ${\displaystyle \arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\-\arccos {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}$ 
• ${\displaystyle \arcsin x=\operatorname {arctg} {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ 
• ${\displaystyle \arcsin x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\operatorname {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}-\pi ,\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}$ 

${\displaystyle y=\sin x}$  funksiyası verilmişdir. Bu funksiya özünün bütün təyin oblastında hissə-hissə monotondur, və deməli, uyğun olaraq tərsi ${\displaystyle y=\arcsin x}$  funksiyası təyin edilməyibdir. Buna görə də elə parçaya baxmaq lazımdır ki, tərs funksiyası artan olsun və bütün qiymətlər çoxluğunda — ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}$  doğrudur. Belə ki, ${\displaystyle y=\sin x}$  funksiyası üçün ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}$  intervalda funksiyanın hər bir qiyməti yeganə arqument qiymətinə yığılır, onda bu parçada ${\displaystyle y=\arcsin x}$  tərs funksiyası, ${\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right]}$  parçasında ${\displaystyle y=\sin x}$  funksiyasının qrafikinə simmetrik qrafiki var.

Arkkosinus- Elə m ədədinə deyilir ki, radian ölçüsündə x bucağına bərabərdir, hansı ki, ${\displaystyle \cos x=m,\qquad 0\leqslant x\leqslant \pi ,|m|\leqslant 1}$ 

${\displaystyle y=\cos x}$  funksiyası bütün ədəd oxunda kəsilməz və məhduddur. ${\displaystyle y=\arccos x}$  funksiyası ciddi azalandır.

• ${\displaystyle \cos(\arccos x)=x}$  ${\displaystyle -1\leqslant x\leqslant 1}$  olduqda,
• ${\displaystyle \arccos(\cos y)=y}$  ${\displaystyle 0\leqslant y\leqslant \pi }$  olduqda,
• ${\displaystyle D(\arccos x)=[-1;1],}$  (təyin oblastı),
• ${\displaystyle E(\arccos x)=[0;\pi ].}$  (qiymətlər oblastı).

• ${\displaystyle \arccos(-x)=\pi -\arccos x}$  (funksiyanın ${\displaystyle \left(0;{\frac {\pi }{2}}\right)}$ ) mərkəzi-simmetrik nöqtəsidir, cüt funksiyadır.
• ${\displaystyle \arccos x>0}$ , ${\displaystyle -1\leqslant x<1}$  olduqda,
• ${\displaystyle \arccos x=0}$ , ${\displaystyle x=1}$  olduqda
• ${\displaystyle \arccos x={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x.}$ 
• ${\displaystyle \arccos x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad 0\leqslant x\leqslant 1\\\pi -\arcsin {\sqrt {1-x^{2}}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}$ 
• ${\displaystyle \arccos x=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad 0<x\leqslant 1\\\pi +\operatorname {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}},\qquad -1\leqslant x<0\end{matrix}}\right.}$ 
• ${\displaystyle \arccos x=2\arcsin {\sqrt {\frac {1-x}{2}}}}$ 
• ${\displaystyle \arccos x=2\arccos {\sqrt {\frac {1+x}{2}}}}$ 
• ${\displaystyle \arccos x=2\operatorname {arctg} {\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}$ 

${\displaystyle y=\operatorname {arctan} x}$  funksiyası bütün ədəd oxunda kəsilməz və məhduddur. ${\displaystyle y=\operatorname {arctan} x}$  funksiyası ciddi artandır.

• ${\displaystyle \operatorname {tan} \,(\operatorname {arctan} \,x)=x}$ , ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$  olduqda
• ${\displaystyle \operatorname {arctan} \,(\operatorname {tan} \,y)=y}$ , ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}$  olduqda
• ${\displaystyle D(\operatorname {arctan} \,x)=(-\infty ;\infty ),}$ 
• ${\displaystyle E(\operatorname {arctan} \,x)=\left(-{\frac {\pi }{2}};{\frac {\pi }{2}}\right)}$ 

• ${\displaystyle \operatorname {arctan} (-x)=-\operatorname {arctan} x\qquad }$ 

• ${\displaystyle \operatorname {arctan} x=\arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$ 

• ${\displaystyle \operatorname {arctan} x=\arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$ , x > 0 -da.

• ${\displaystyle \operatorname {arctan} x=\operatorname {arccot} {\frac {1}{x}}}$ 

• ${\displaystyle \operatorname {arctan} x=-i\operatorname {arcth} {ix}}$ , haradakı ${\displaystyle \operatorname {arcth} }$  — hiperbolik arktangens.

• ${\displaystyle \operatorname {arcth} x=i\operatorname {arctan} {ix}}$ 

...

${\displaystyle y=\operatorname {arccot} \,x}$  funksiyası bütün ədəd oxunda kəsilməz və məhduddur. ${\displaystyle y=\operatorname {arccot} \,x}$  funksiyası ciddi azalandır.

• ${\displaystyle \operatorname {cot} \,(\operatorname {arccot} \,x)=x}$ , ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$  olduqda
• ${\displaystyle \operatorname {arccot} \,(\operatorname {cot} \,y)=y}$ , ${\displaystyle 0<y<\pi }$  olduqda
• ${\displaystyle D(\operatorname {arccot} \,x)=(-\infty ;\infty ),}$ 
• ${\displaystyle E(\operatorname {arccot} \,x)=(0;\pi ).}$ 

• ${\displaystyle \operatorname {arccot} \,(-x)=\pi -\operatorname {arccot} \,x}$  ( ${\displaystyle \left(0;{\frac {\pi }{2}}\right).}$ 
• ${\displaystyle \operatorname {arccot} \,x>0}$ , istənilən ${\displaystyle x}$  olduqda
• ${\displaystyle \operatorname {arccot} \,x=\left\{{\begin{matrix}\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x\geqslant 0\\\pi -\arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}},\qquad x<0\end{matrix}}\right.}$ 
• ${\displaystyle \operatorname {arccot} x=\pi /2-\operatorname {arccot} x.}$ 

...

${\displaystyle \mathop {\operatorname {arcsec} } \,(x)\,=\operatorname {arccos} \left({\frac {1}{x}}\right)}$ 

${\displaystyle \mathop {\operatorname {arccsc} } \,(y)\,=\operatorname {arcsin} \left({\frac {1}{y}}\right)}$ 

${\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$ 
${\displaystyle (\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$ 
${\displaystyle (\operatorname {arctan} \,x)'={\frac {1}{\ 1+x^{2}}}.}$ 
${\displaystyle (\operatorname {arccot} \,x)'=-{\frac {1}{\ 1+x^{2}}}.}$ 

x həqiqi və kompleks qiymətlər üçün :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \operatorname {arctan} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arctan} \,x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arccot} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccot} \,x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C,\\\int \operatorname {arccsc} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc} \,x+\ln \left(x\left(1+{\sqrt {{x^{2}-1} \over x^{2}}}\,\right)\!\right)+C.\end{aligned}}}$ 

x ≥ 1 həqiqi qiymətlər üçün:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C,\\\int \operatorname {arccsc} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc} \,x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C.\end{aligned}}}$$ 

Əgər üçbucağın tərəfləri verilərsə, onda üçbucağın bucaqlarının tapılması üçün tərs triqonometrik funksiyalarından istifadə edilir. Məsələn: Kosinuslar teoremi ilə tapılır.

Düzbucaqlı üçbucaqda, bucağı tərəflər arasındakı münasibət vasitəsilə bu funksiyalarla alınır:

α = arcsin (a/c) = arccos (b/c) = arctan (a/b) = arccsc (c/a) = arcsec (c/b) = arccot (b/a)

Kompleks arqumentli tərs triqonometrik funksiyaların dəyişəninin həlli üçün natural loqarifmlərlə verilməsi düsturları:

${\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin z&{}=-i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}})={\frac {\pi }{2}}-i\ln(z+{\sqrt {z^{2}-1}}),\end{aligned}}}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}\arccos z&{}={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}),\end{aligned}}}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arctan} \,z&{}={\dfrac {i}{2}}(\ln(1-iz)-\ln(1+iz)),\end{aligned}}}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccot} \,z&{}={\dfrac {i}{2}}\left(\ln \left({\dfrac {z-i}{z}}\right)-\ln \left({\dfrac {z+i}{z}}\right)\right),\end{aligned}}}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{-1}\right)={\dfrac {\pi }{2}}+i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right),\end{aligned}}}$ 

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arccsc} \,z&{}=\arcsin \left(z^{-1}\right)=-i\ln \left({\sqrt {1-{\dfrac {1}{z^{2}}}}}+{\dfrac {i}{z}}\right).\end{aligned}}}$ 

• Weisstein, Eric W. Обратные тригонометрические функции (ing.) Wolfram MathWorld saytında.
• Математическая энциклопедия. Гл. ред. И.М. Виноградов. — М.: «Советская Энциклопедия», 1982. — Т. 3. — с. 1135.
• Построение графиков обратных тригонометрических функций онлайн
• Онлайн калькулятор: обратные тригонометрические функции

• Triqonometrik funksiyalar