Qrupların homomorfizmi

Tutaq ki, iki ${\displaystyle \left\langle G,\centerdot \right\rangle }$ və ,${\displaystyle \left\langle G,\circ \right\rangle }$ qrupları və ${\displaystyle G}$ çoxluğunun ${\displaystyle G}$-ə ${\displaystyle f:G\rightarrow G'}$ inikası verilmişdir.

Tərif 1. Əgər ${\displaystyle f}$ inikası

${\displaystyle (\forall x,y\in G)(f(xy)=f(x)\circ f(y)),}$

şərtini ödəyərsə onda belə inikas homomorfizm adlanır.

Tərif 2. ${\displaystyle f}$ homomorfizmi biyektiv inikas olarsa, onda o, izomorfizm adlanır. Əgər ${\displaystyle f:G\rightarrow G'}$ inikası izomorfizm olarsa, onda ${\displaystyle \left\langle G,\centerdot \right\rangle }$ və ,${\displaystyle \left\langle G,\circ \right\rangle }$ qrupları izomorf qruplar adlanır və bu belə işarə olunur ${\displaystyle \left\langle G,\centerdot \right\rangle \cong \left\langle G,\circ \right\rangle }$ (çox vaxt sadəcə ${\displaystyle G\cong G'}$ kimi də yazılır).

Teorem 1. Əgər ${\displaystyle f:G\rightarrow G'}$ homomorfizmi verilərsə, onda aşağıdakı münasibətlər doğrudur:

${\displaystyle (\forall x\in G)(f(x^{-1})=(f(x)^{-1}),f(e)=e'.}$

İsbatı. Hər şeydən əvvəl qeyd edək ki,

${\displaystyle f(e)\circ e'=f(e)=f(ee)=f(e)\circ f(e).}$

Onda, buradan ixtisar qanununa əsasən yaza bilərik ${\displaystyle f(e)=e'}$. Daha sonra

${\displaystyle f(xx^{-1})=f(x)\circ f(x^{-1})=f(e)=e'.}$

Deməli, ${\displaystyle f(x^{-1})=(f(x))^{-1}.}$ . Teoremin isbatı başa çatdı.

Tərif 3. ${\displaystyle G}$ çoxluğunun

${\displaystyle Kerf=\{x\in G|f(x)=e'\}}$

bərabərliyi ilə təyin olunan alt çoxluğuna homomorfizmin nüvəsi deyilir;

${\displaystyle Imf=\{y\in G'|(\exists x\in G)(y=f(x))\}}$

bərabərliyi ilə təyin olunan alt çoxluq isə homomorfizmin obrazı adlanır.

Misallar. 1. ${\displaystyle \left\langle R_{+},\centerdot \right\rangle }$ , ilə ${\displaystyle R_{+}}$ müsbət həqiqi ədədlərin multiplikativ qrupunu işarə edək. ${\displaystyle x\rightarrow lnx}$ inikası ${\displaystyle R_{+}}$ çoxluğunu ${\displaystyle R}$ -ə inikas edir.

${\displaystyle lnxy=lnx+lny}$

bərabərliyi göstərir ki, bu inikas ${\displaystyle \left\langle R_{+},\centerdot \right\rangle }$, qrupunun həqiqi ədədlərin ${\displaystyle \left\langle R,+\right\rangle }$ additiv qrupuna homomorfizmidir. O eyni zamanda həm də izomorfizmdir.

2. ${\displaystyle f(x)=\left|x\right\vert \quad }$ inikası ${\displaystyle \left\langle R\ \{0\},\centerdot \right\rangle }$ qrupunun ${\displaystyle \left\langle R_{+},\centerdot \right\rangle }$, qrupuna homomorfizmidir. Bu homomorfizm izomorfizm deyil.

${\displaystyle x\rightarrow e}$ inikası ${\displaystyle \left\langle R,+\right\rangle }$ qrupunun ${\displaystyle \left\langle R_{+},\centerdot \right\rangle }$ , qrupuna izomorfizmidir.